题目
在事件A,B,C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为( )A. Aoverline (C) cup Boverline (C) B. ABoverline (C) C. ABoverline (C)cup Aoverline (B) Ccup overline (A) BCD. Acup Bcup overline (C)
在事件A,B,C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为( )
A. $A\overline {C} \cup B\overline {C} $
B. $AB\overline {C} $
C. $AB\overline {C}\cup A\overline {B} C\cup \overline {A} BC$
D. $A\cup B\cup \overline {C} $
题目解答
答案
A. $A\overline {C} \cup B\overline {C} $
解析
步骤 1：理解事件的表示
事件A和B至少有一个发生，可以表示为$A \cup B$。事件C不发生，可以表示为$\overline{C}$。因此，事件A和B至少有一个发生而C不发生的事件可以表示为$(A \cup B) \cap \overline{C}$。
步骤 2：简化表达式
根据分配律，$(A \cup B) \cap \overline{C}$可以进一步表示为$A\overline{C} \cup B\overline{C}$。这是因为事件A发生且C不发生，或者事件B发生且C不发生，这两种情况的并集就是所求的事件。
步骤 3：验证选项
选项A表示$A\overline{C} \cup B\overline{C}$，这与步骤2中得到的表达式一致。选项B表示$AB\overline{C}$，这表示A和B同时发生且C不发生，不符合题意。选项C表示$AB\overline{C}\cup A\overline{B}C\cup \overline{A}BC$，这表示A和B同时发生且C不发生，或者A发生B不发生且C发生，或者A不发生B发生且C发生，这与题意不符。选项D表示$A\cup B\cup \overline{C}$，这表示A发生，或者B发生，或者C不发生，这与题意不符。
事件A和B至少有一个发生，可以表示为$A \cup B$。事件C不发生，可以表示为$\overline{C}$。因此，事件A和B至少有一个发生而C不发生的事件可以表示为$(A \cup B) \cap \overline{C}$。
步骤 2：简化表达式
根据分配律，$(A \cup B) \cap \overline{C}$可以进一步表示为$A\overline{C} \cup B\overline{C}$。这是因为事件A发生且C不发生，或者事件B发生且C不发生，这两种情况的并集就是所求的事件。
步骤 3：验证选项
选项A表示$A\overline{C} \cup B\overline{C}$，这与步骤2中得到的表达式一致。选项B表示$AB\overline{C}$，这表示A和B同时发生且C不发生，不符合题意。选项C表示$AB\overline{C}\cup A\overline{B}C\cup \overline{A}BC$，这表示A和B同时发生且C不发生，或者A发生B不发生且C发生，或者A不发生B发生且C发生，这与题意不符。选项D表示$A\cup B\cup \overline{C}$，这表示A发生，或者B发生，或者C不发生，这与题意不符。