题目
(4)iint_(D)xcos(x+y)dsigma，其中D是顶点分别为(0,0)，(pi,0)和(pi,pi)的三角形闭区域；
(4)$\iint_{D}x\cos(x+y)d\sigma$，其中D是顶点分别为(0,0)，$(\pi,0)$和$(\pi,\pi)$的三角形闭区域；
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 表示为 $0 \leq x \leq \pi$，$0 \leq y \leq x$，则二重积分为：
\[
\iint_{D} x \cos(x+y) \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \cos(x+y) \, dy \, dx.
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{x} x \cos(x+y) \, dy = x \left[ \sin(x+y) \right]_{0}^{x} = x (\sin 2x - \sin x).
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{\pi} x (\sin 2x - \sin x) \, dx = \int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx - \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx.
\]
使用分部积分法：
\[
\int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx = -\frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi.
\]
因此，原积分值为：
\[
-\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{3\pi}{2}.
\]
答案：$\boxed{-\frac{3\pi}{2}}$。
解析
步骤 1：确定积分区域 $D$
积分区域 $D$ 是一个三角形闭区域，顶点分别为 $(0,0)$，$(\pi,0)$ 和 $(\pi,\pi)$。因此，$D$ 可以表示为 $0 \leq x \leq \pi$，$0 \leq y \leq x$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域 $D$，二重积分可以表示为： \[ \iint_{D} x \cos(x+y) \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \cos(x+y) \, dy \, dx. \]
步骤 3：对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{x} x \cos(x+y) \, dy = x \left[ \sin(x+y) \right]_{0}^{x} = x (\sin 2x - \sin x). \]
步骤 4：对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{0}^{\pi} x (\sin 2x - \sin x) \, dx = \int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx - \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx. \]
步骤 5：使用分部积分法
使用分部积分法计算两个积分： \[ \int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx = -\frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi. \]
步骤 6：计算原积分值
因此，原积分值为： \[ -\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{3\pi}{2}. \]
积分区域 $D$ 是一个三角形闭区域，顶点分别为 $(0,0)$，$(\pi,0)$ 和 $(\pi,\pi)$。因此，$D$ 可以表示为 $0 \leq x \leq \pi$，$0 \leq y \leq x$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域 $D$，二重积分可以表示为： \[ \iint_{D} x \cos(x+y) \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \cos(x+y) \, dy \, dx. \]
步骤 3：对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{x} x \cos(x+y) \, dy = x \left[ \sin(x+y) \right]_{0}^{x} = x (\sin 2x - \sin x). \]
步骤 4：对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{0}^{\pi} x (\sin 2x - \sin x) \, dx = \int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx - \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx. \]
步骤 5：使用分部积分法
使用分部积分法计算两个积分： \[ \int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx = -\frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi. \]
步骤 6：计算原积分值
因此，原积分值为： \[ -\frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{3\pi}{2}. \]