lim _(narrow infty )n(dfrac (1)({n)^2+pi }+dfrac (1)({n)^2+2pi }+... +dfrac (1)({n)^2+npi })=1；

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼定理处理和式极限的方法。

解题核心思路：

1. 观察和式的结构：每一项的分母为$n^2 + k\pi$，其中$k$从$1$到$n$。
2. 寻找和式的上下界：通过比较分母的大小，找到每一项的最小值和最大值，进而估计整个和式的范围。
3. 应用夹逼定理：将和式乘以$n$后，分别求出上下界的极限，若两者相等，则原极限等于该值。

破题关键点：

• 分母的极值分析：当$k$增大时，分母$n^2 + k\pi$增大，因此$\frac{1}{n^2 + k\pi}$单调递减。
• 上下界构造：利用最小项和最大项构造和式的上下界，再结合$n$的倍数关系，形成可求极限的表达式。

步骤1：分析和式的上下界
对于$k=1,2,\dots,n$，分母$n^2 + k\pi$满足：
$n^2 + \pi \leq n^2 + k\pi \leq n^2 + n\pi.$
因此，每一项满足：
$\frac{1}{n^2 + n\pi} \leq \frac{1}{n^2 + k\pi} \leq \frac{1}{n^2 + \pi}.$

步骤2：求和并乘以$n$
将不等式逐项相加，得到：
$n \cdot \frac{1}{n^2 + n\pi} \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2 + k\pi} \leq n \cdot \frac{1}{n^2 + \pi}.$
再乘以$n$，得：
$n \cdot \frac{n}{n^2 + n\pi} \leq n \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2 + k\pi} \leq n \cdot \frac{n}{n^2 + \pi}.$

步骤3：计算上下界的极限

• 下界：
  $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n\pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n}} = 1.$
• 上界：
  $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + \pi} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{\pi}{n^2}} = 1.$

步骤4：应用夹逼定理
由于上下界的极限均为$1$，根据夹逼定理，原极限为$1$。