题目
求曲线 ^3-xy+(y)^3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离,
=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离,
题目解答
答案
曲线上任取一点p(x,y),其到原点的距离d=
,构造拉格朗日函数L=
,令
(1)-(2)得(x-y)[2+λ+3λ(x+y)]=0,即x=y或x+y=-
,
(1)+(2)得(2-λ)(x+y)+3λ(
)=0.
若x=y,代入(3)可得x=y=1,此时d=
;
若x+y=-,代入(2-λ)(x+y)+3λ()=0可得=-
,
进一步有
=
=
.
而
可变为(x+y)(
)-xy=1,把
代入此方程得
,简化为
即
但此时
<0,不满足x≥0,y≥0,所以在x≥0,y≥0内只有一个驻点(1,1).再考虑边界上的情况,当x=0时,y=1.有
=1,
当y=0时,x=1,有=1.
综上所述,可知最远距离为
,最近距离为1.
解析
步骤 1：构造拉格朗日函数
构造拉格朗日函数 $L = {x}^{2} + {y}^{2} + λ({x}^{3} - xy + {y}^{3} - 1)$，其中 $λ$ 是拉格朗日乘子。我们需要找到 $L$ 的极值点，以确定曲线上的点到原点的距离的最值。
步骤 2：求偏导数
对 $L$ 求偏导数，得到以下方程组：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + λ(3{x}^{2} - y) = 0 \quad (1) \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + λ(-x + 3{y}^{2}) = 0 \quad (2) \\
\frac{\partial L}{\partial λ} = {x}^{3} - xy + {y}^{3} - 1 = 0 \quad (3)
\end{array}
\right.
$$
步骤 3：解方程组
(1) - (2) 得到 $(x - y)[2 + λ + 3λ(x + y)] = 0$，即 $x = y$ 或 $x + y = -\frac{2 + λ}{3λ}$。
(1) + (2) 得到 $(2 - λ)(x + y) + 3λ({x}^{2} + {y}^{2}) = 0$。
若 $x = y$，代入 (3) 可得 $x = y = 1$，此时 $d = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = \sqrt{2}$。
若 $x + y = -\frac{2 + λ}{3λ}$，代入 $(2 - λ)(x + y) + 3λ({x}^{2} + {y}^{2}) = 0$ 可得 ${x}^{2} + {y}^{2} = -\frac{{λ}^{2} - 4}{9{λ}^{2}}$，进一步有 $xy = \frac{(x + y)^{2} - ({x}^{2} + {y}^{2})}{2} = \frac{\frac{(λ + 2)^{2}}{9{λ}^{2}} + \frac{{λ}^{2} - 4}{9{λ}^{2}}}{2} = \frac{{λ}^{2} + 2λ}{9{λ}^{2}}$。
而 ${x}^{3} - xy + {y}^{3} = 1$ 可变为 $(x + y)({x}^{2} + {y}^{2} - xy) - xy = 1$，把 ${x}^{2} + {y}^{2}, x + y, xy$ 代入此方程得 $-\frac{2 + λ}{3λ}(-\frac{{λ}^{2} - 4}{9{λ}^{2}} - \frac{{λ}^{2} + 2λ}{9{λ}^{2}}) - \frac{{λ}^{2} + 2λ}{9{λ}^{2}} = 1$，简化为 ${λ}^{3} = -\frac{2}{7}$，即 $λ = -\sqrt{\frac{2}{7}}$。
但此时 $xy = \frac{λ + 2}{9λ} < 0$，不满足 $x ≥ 0, y ≥ 0$，所以在 $x ≥ 0, y ≥ 0$ 内只有一个驻点 $(1, 1)$。再考虑边界上的情况，当 $x = 0$ 时，$y = 1$，有 $d = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = 1$，当 $y = 0$ 时，$x = 1$，有 $d = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = 1$。
综上所述，可知最远距离为 $\sqrt{2}$，最近距离为 $1$。
构造拉格朗日函数 $L = {x}^{2} + {y}^{2} + λ({x}^{3} - xy + {y}^{3} - 1)$，其中 $λ$ 是拉格朗日乘子。我们需要找到 $L$ 的极值点，以确定曲线上的点到原点的距离的最值。
步骤 2：求偏导数
对 $L$ 求偏导数，得到以下方程组：
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + λ(3{x}^{2} - y) = 0 \quad (1) \\
\frac{\partial L}{\partial y} = 2y + λ(-x + 3{y}^{2}) = 0 \quad (2) \\
\frac{\partial L}{\partial λ} = {x}^{3} - xy + {y}^{3} - 1 = 0 \quad (3)
\end{array}
\right.
$$
步骤 3：解方程组
(1) - (2) 得到 $(x - y)[2 + λ + 3λ(x + y)] = 0$，即 $x = y$ 或 $x + y = -\frac{2 + λ}{3λ}$。
(1) + (2) 得到 $(2 - λ)(x + y) + 3λ({x}^{2} + {y}^{2}) = 0$。
若 $x = y$，代入 (3) 可得 $x = y = 1$，此时 $d = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = \sqrt{2}$。
若 $x + y = -\frac{2 + λ}{3λ}$，代入 $(2 - λ)(x + y) + 3λ({x}^{2} + {y}^{2}) = 0$ 可得 ${x}^{2} + {y}^{2} = -\frac{{λ}^{2} - 4}{9{λ}^{2}}$，进一步有 $xy = \frac{(x + y)^{2} - ({x}^{2} + {y}^{2})}{2} = \frac{\frac{(λ + 2)^{2}}{9{λ}^{2}} + \frac{{λ}^{2} - 4}{9{λ}^{2}}}{2} = \frac{{λ}^{2} + 2λ}{9{λ}^{2}}$。
而 ${x}^{3} - xy + {y}^{3} = 1$ 可变为 $(x + y)({x}^{2} + {y}^{2} - xy) - xy = 1$，把 ${x}^{2} + {y}^{2}, x + y, xy$ 代入此方程得 $-\frac{2 + λ}{3λ}(-\frac{{λ}^{2} - 4}{9{λ}^{2}} - \frac{{λ}^{2} + 2λ}{9{λ}^{2}}) - \frac{{λ}^{2} + 2λ}{9{λ}^{2}} = 1$，简化为 ${λ}^{3} = -\frac{2}{7}$，即 $λ = -\sqrt{\frac{2}{7}}$。
但此时 $xy = \frac{λ + 2}{9λ} < 0$，不满足 $x ≥ 0, y ≥ 0$，所以在 $x ≥ 0, y ≥ 0$ 内只有一个驻点 $(1, 1)$。再考虑边界上的情况，当 $x = 0$ 时，$y = 1$，有 $d = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = 1$，当 $y = 0$ 时，$x = 1$，有 $d = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} = 1$。
综上所述，可知最远距离为 $\sqrt{2}$，最近距离为 $1$。