题目
已知(x)=dfrac ({e)^x-1}({e)^x+1}的值域为_____。
已知
的值域为_____。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$的定义域为所有实数，因为${e}^{x}+1$在所有实数$x$上都不为零。
步骤 2：分析函数的单调性
为了确定函数的值域，我们首先需要分析函数的单调性。计算$f(x)$的导数：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}\right) = \frac{{e}^{x}({e}^{x}+1)-({e}^{x}-1){e}^{x}}{({e}^{x}+1)^2} = \frac{2{e}^{x}}{({e}^{x}+1)^2}$$
由于${e}^{x}$和$({e}^{x}+1)^2$都是正的，所以$f'(x)$在所有实数$x$上都是正的，这意味着$f(x)$是单调递增的。
步骤 3：确定函数的极限
为了确定值域，我们需要计算$f(x)$在$x$趋向于正无穷和负无穷时的极限。
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\frac{1}{{e}^{x}}}{1+\frac{1}{{e}^{x}}} = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1-\frac{1}{{e}^{x}}}{1+\frac{1}{{e}^{x}}} = -1$$
由于$f(x)$是单调递增的，且在$x$趋向于正无穷时极限为1，在$x$趋向于负无穷时极限为-1，所以$f(x)$的值域为$(-1,1)$。
函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$的定义域为所有实数，因为${e}^{x}+1$在所有实数$x$上都不为零。
步骤 2：分析函数的单调性
为了确定函数的值域，我们首先需要分析函数的单调性。计算$f(x)$的导数：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}\right) = \frac{{e}^{x}({e}^{x}+1)-({e}^{x}-1){e}^{x}}{({e}^{x}+1)^2} = \frac{2{e}^{x}}{({e}^{x}+1)^2}$$
由于${e}^{x}$和$({e}^{x}+1)^2$都是正的，所以$f'(x)$在所有实数$x$上都是正的，这意味着$f(x)$是单调递增的。
步骤 3：确定函数的极限
为了确定值域，我们需要计算$f(x)$在$x$趋向于正无穷和负无穷时的极限。
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\frac{1}{{e}^{x}}}{1+\frac{1}{{e}^{x}}} = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1-\frac{1}{{e}^{x}}}{1+\frac{1}{{e}^{x}}} = -1$$
由于$f(x)$是单调递增的，且在$x$趋向于正无穷时极限为1，在$x$趋向于负无穷时极限为-1，所以$f(x)$的值域为$(-1,1)$。