13.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:-|||--2-|||--4-|||-(1) (a)_(1)=(} 1 2 2 -1=-|||-3 -6 -7-|||-陈的列向量组的一个最大无关组,

题目1（向量组秩与最大无关组）

向量组：${\alpha}_1=(1,2,2,-1)^T$, ${\alpha}_2=(9,100,10,40)^T$, ${\alpha}_3=(2,-4,2,-8)^T$

1. 构造矩阵并作行变换：
   以向量为列构造矩阵$A=({\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3)$，进行初等行变换：
   $A=\begin{pmatrix}1&9&2\\2&100&-4\\2&10&2\\-1&40&-8\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$
   行阶梯形矩阵的非零行有2行，故秩$R(A)=2$。

2. 最大无关组：
   主元列对应原向量${\alpha}_1,{\alpha}_2$，且${\alpha}_1,{\alpha}_2$线性无关，故最大无关组为${\alpha}_1,{\alpha}_2$。

题目2（向量组秩与最大无关组）

向量组：${\alpha}_1=(1,1,-5,-4)^T$, ${\alpha}_2=(1,2,-6,-7)^T$, ${\alpha}_3=(1,3,-7,-10)^T$

1. 构造矩阵并作行变换：
   以向量为列构造矩阵$B=({\alpha}_1,{\alpha}_2,{\alpha}_3)$，进行初等行变换：
   $B=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\-5&-6&-7\\-4&-7&-10\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&0&-2\\0&1&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$
   行阶梯形矩阵的非零行有2行，故秩$R(B)=2$。

2. 最大无关组：
   主元列对应原向量${\alpha}_1,{\alpha}_2$，且${\alpha}_1,{\alpha}_2$线性无关，故最大无关组为${\alpha}_1,{\alpha}_2$。