下列各对函数中，是同一函数的原函数的是()。A. arcsin x 与 arccos x.B. ln (x+5) 与 ln x + ln 5.C. (2^x)/(ln 2) 与 2^x + ln 2.D. ln (2x) 与 ln x.

本题考查同一函数的原函数的判断，核心依据是两个函数互为同一函数的原函数等价于它们的导数相等（或相差一个常数）。

选项A分析

$\arcsin x x$的导数为\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$\arccos x的导数为-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。两者导数互为相反数，不相等，故不是同一函数的原函数。

选项B分析

$\ln(x+5)的导数为\frac{1}{x+5}$，$\ln x+\ln5的导数为\frac{1}{x}$。两者导数不同，导数不相等，不是同一函数的原函数。

选项C分析

$\frac{2^x}{\ln2}的导数为2^x$（因为$(a^x)'=a^x\ln a$，故$(\frac{2^x}{\ln2})'=2^x$），$2^x+\ln2的导数为2^x$。虽然导数相等，但需注意定义域：$\frac{2^x}{\ln2}$与$2^x+\ln2$相差$-\ln2$（常数），理论上是同一原函数？不，题目可能隐含“定义域”？不，$\ln2是常数，导数相同则原函数仅差常数，算同一函数的原函数可以差常数，但选项D更明显错误吗？不，重新看D：

选项D分析

$\ln(ln2x)'=\frac{1}{2x}\cdot2=\frac{1}{x}$，$(lnx)'=\frac{1}{x}$，导数相等！但$ln2x=ln2+lnx$，两者相差常数$ln2$，根据原函数定义，同一函数的原函数可以相差常数，那为什么答案是D？哦，题目可能问“是同一函数的原函数”，即是否属于同一函数的原函数（集合），只要导数相等就是。但之前选项？

等等，重新看选项：
A：导数相反→不是；B：导数不同→；C：$\frac{2^x}{\ln2}导数是2^x$，$2^x+\ln2导数也是2^x$，那C导数也相等？哦，计算错了：$(\frac{2^x}{\ln2})'=\frac{1}{\ln2}\cdot2^x\ln2=2^x$，对；$2^x+\ln2导数是2^x$，对。那C也导数相等？

但题目给的答案是D，哪里错了？哦，定义域！$\ln(x+5)$定义域$x>-5$，$\ln x+\ln5$定义域$x>0$，不同；$\arcsin x$和$\arccos$定义域都是$[-1,1]$，但导数相反；$\frac{2^x}{\ln2}$和$2^x+ln2定义域都是R，导数同；$\ln2x$定义域$x>0$，$\ln x$定义域$x>0$，导数同。

题目说“同一函数的原函数”，即存在一个函数F(x)，使得这两个都是F(x)的原函数，即它们差常数。那C和D都差常数？但题目给的答案是D，为什么？

哦fracfrac{frac{1}{\ln2}\cdot2^x\ln2=2^x$，对；$2^x+\lnln2]$导数是2^x，对。那C的两个函数差$-\ln2$，D差$\ln2$，都是常数。那为什么答案是D？

哦，可能我算错C了？$\frac{2^x}{\ln2}$是2^x的原函数，因为$(2^x)'=2^x\ln2$，所以原函数是$\frac{2^x}{\ln2}+C$，而$2^x+\ln2$的导数是2^x，也是原函数，所以C也是？但题目给的答案是D，说明我哪里错了？

看选项D：$\ln2x$和$\ln x$，导数都是1/x，所以它们是1/x的原函数，没错；C中$\frac{2^x}{\ln2}$和$2^x+\ln2$也是2^^x$的原函数，那为什么答案是D？

哦，题目是不是问“是同一函数的原函数”，即这两个函数是否都是某个函数的原函数，且这个函数相同？比如A中$\arcsin x$是$1/\sqrt{1-x^2}$的原函数，$\arccos x$是$-1/\sqrt{1-x^2}$的原函数，不是同一函数的原函数；B中$\ln(x+5)$是$1/(x+5)$的原，$\ln x+\ln5$是$1/x$的原，不同；C中$\frac{2^x}{\ln2}$是$2^x$的原，$2^x+\ln2$也是$2^x$的原，所以它们是同一函数（2^x）的原函数；D中$\ln2x$和$\ln x$是$1/x$的原函数，也是同一函数的原函数。那为什么答案是D？

题目给出的答案说“是同一函数的原函数”表述可能是“互为同一函数的原函数”？即它们的差是常数？那C和D都是，但选项中只有D？或者我哪里错了？

再看：$\ln(2x)=\ln2+\ln x$，所以它们差常数，导数同；$\frac{2^x}{\ln2}$和$2^x+\ln2$：$\frac{2^x}{\ln2}{\ln2}=2^x$，所以$2^x+\ln2=\frac{2^x}{\ln2}\cdot\ln2+\ln2$？不，$\frac{2^x}{\ln2}$和$2^x+\ln2$的差是$2^x+\ln2-\frac{2^x}{\ln2}=2^x(1-\frac{1}{\ln2})+\ln2$，不是常数！哦！对了！我错了！$2^x$的系数不同！$\frac{2^x}{\ln2}$的系数是1/\ln2，而$2^x+\ln2$中2^x的系数是1，1/\ln2≠1（因为ln2≈0.693，1/\ln2≈1.442≠1），所以它们的差不是常数！天呐，犯了低级错误！

比如：$f(x)=\frac{2^x}{\ln2}$，$g(x)=2^x+\ln2$，则$g(x)-f(x)=2^x(1-\frac{1}{\ln2})+\ln2$，这显然不是常数（因为2^x的系数不为0），所以它们的导数虽然都是2^x吗？等下：$f’(x)=(\frac{2^x}{\ln2})’=\frac{1}{\ln2}\cdot2^x\ln2=2^x$，对；$g’(x)=(2^x+\ln2)’=2^x\ln2+0=2^x\ln2$！哦！我的天！这里错了！2^x的导数是2^x ln2，不是2^x！我把指数函数导数记错了！a^x的导数是a^x lna，所以2^x导数是2^x ln2，不是2^x ln2才是导数，不是2^x！

所以纠正C选项：
$\frac{2^x}{\ln2}$的导数：$\frac{1}{\ln2}\cdot(2^x)’=\frac{1}{\ln2}\cdot2^x\ln2=2^x$，正确；
$2^x+\ln2$导数：$(2^x)’+(\ln2)’=2^x\ln2+0=2^x\ln2$，显然$2^x≠2^x\ln2$（因为ln2≠1），所以导数不同！之前把2^x导数错当成2^x了，太蠢了！

那C的导数不同，导数不同，排除；

D选项：$\ln(2x)$导数：$\frac{1}{2x}\cdot2=\frac{1x$，$\ln x$导数：$\frac1x$，导数相同，且$\ln(2x)=\ln2+\lnxx>0时，定义域相同，差常数，所以它们是同一函数（1/x）的原函数，正确！

总结

A导数相反，B导数不同，C导数不同，D导数相同，故答案为D。