题目

例题 1.1.3. 设数列(a_{n)}满足a_(1)=sqrt(2),a_(n+1)=sqrt(2+a_(n))，求极限lim_(ntoinfty)(2^n)/(a_(1)a_{2)... a_(n)}.

例题 1.1.3. 设数列${a_{n}}$满足$a_{1}=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$，求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$.

题目解答

答案

由递推关系 $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$，易知 $a_n$ 单调递增且有上界2，故 $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$。 利用三角恒等式，设 $a_n = 2 \cos \theta_n$，则 $\theta_{n+1} = \frac{\theta_n}{2}$，且 $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$，得 $\theta_n = \frac{\pi}{2^{n+1}}$。 因此，$a_n = 2 \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}$，乘积为 \[ a_1 a_2 \cdots a_n = 2^n \cos \frac{\pi}{2^2} \cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}. \] 利用正弦倍角公式， \[ \cos \frac{\pi}{2^2} \cos \frac{\pi}{2^3} \cdots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{2^n \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}. \] 故 \[ \frac{2^n}{a_1 a_2 \cdots a_n} = 2^n \cdot \frac{2^n \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{\sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin \frac{\pi}{2^{n+1}}} = 1. \] **答案：** $\boxed{1}$

解析

本题主要考察数列极限的计算，关键在于通过三角恒等式转化数列递推关系，并利用正弦倍角公式化简乘积项。

步骤1：分析数列$\{a_n\}$的极限

由递推关系$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$，初始值$a_1=\sqrt{2}$：

  • 单调性：$a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2) = -(a_n - 2)(a_n + 1)$，因$a_n>0$，故$a_{n+1}^2 > a_n^2$，即$\{a_n\}$单调递增。
  • 有界性：归纳可证$a_n<2$（$a_1=\sqrt{2}<2$，假设$a_k<2$，则$a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}<\sqrt{4}=2$），故$\{a_n\}$收敛。
  • 极限计算：设$\lim_{n\to\infty}a_n=A$，则$A=\sqrt{2+A}$，解得$A=2$（舍去负根）。

步骤2：三角恒等式转化

设$a_n=2\cos\theta_n$（因$a_n<2$，$\cos\theta_n\in(0,1)$），代入递推：
$2\cos\theta_{n+1}=\sqrt{2+2\cos\theta_n}=\sqrt{4\cos^2\frac{\theta_n}{2}}=2\cos\frac{\theta_n}{2}$
故$\theta_{n+1}=\frac{\theta_n}{2}$（$\theta_n\in(0,\frac{\pi}{2})$）。
初始值$a_1=\sqrt{2}=2\cos\theta_1\Rightarrow\cos\theta_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\theta_1=\frac{\pi}{4}$，递推得$\theta_n=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{\pi}{2^{n+1}}$，故$a_n=2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}$。

步骤3：化简乘积$a_1a_2\cdots a_n$

$a_1a_2\cdots a_n=2^n\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}$
利用正弦倍角公式$\sin2x=2\sin x\cos x\Rightarrow\cos x=\frac{\sin2x}{2\sin x}$，逐项化简：
$\begin{align*}\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}&=\frac{\sin\frac{\pi}{2^2}}{2\sin\frac{\pi}{2^2}}\cdot\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}\\&=\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}\quad(\text{递推约分得})\end{align*}$

步骤4：计算极限

$\frac{2^n}{a_1a_2\cdots a_n}=\frac{2^n}{2^n\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{2}}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}}=\frac{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin\frac{\pi}{2}}$
因$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}=1$，故：
$\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\sin\frac{\pi}{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}\cdot\pi=1\cdot\pi/\pi=1$