题目

1.设常数 gt 0 ,则级数 sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (k+n)({n)^2}() 。-|||-A.发散 B.条件收敛-|||-C.绝对收敛 D.收敛或发散与k的取值有关

题目解答

答案

解析

本题考查级数敛散性的判断，解题思路是先将原级数拆分成两个级数之和，再分别判断这两个级数的敛散性，最后根据级数敛散性的性质确定原级数的敛散性。

  1. 拆分原级数：
    已知原级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {k+n}{{n}^{2}}$，根据分式加法法则$\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$，可将其拆分为$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {k+n}{{n}^{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\left(\dfrac {k}{{n}^{2}}+\dfrac {1}{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {k}{{n}^{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$。
  2. 判断$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {k}{{n}^{2}}$的敛散性：
    考虑其绝对值级数$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{(-1)}^{n}\dfrac {k}{{n}^{2}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {k}{{n}^{2}}$，因为$k\gt0$，所以$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {k}{{n}^{2}}=k\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$。
    根据$p -$级数的敛散性：$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$，当$p\gt1$时级数收敛，当$p\leqslant1$时级数发散。
    在$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$中，$p = 2\gt1$，所以$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$收敛，又因为$k$为常数，根据常数与收敛级数的乘积仍收敛，可知$k\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$收敛，即$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {k}{{n}^{2}}$绝对收敛。
  3. 判断$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$的敛散性：
    • 判断绝对值级数的敛散性：
      其绝对值级数为$\sum _{n=1}^{\infty }\left|{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是$p = 1$的$p -$级数，所以$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$发散。
    • 判断原级数的敛散性：
      设$u_n=\frac{1}{n}$，则$u_{n + 1}=\frac{1}{n + 1}$，显然$u_{n+1}\lt u_n$（因为$n + 1\gt n$，分子相同，分母大的分数小），且$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$。
      根据莱布尼茨判别法：若交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^n u_n$（$u_n\gt0$）满足$u_{n + 1}\leqslant u_n$（$n = 1,2,\cdots$）且$\lim\limits_{n\to\infty}u_n = 0$，则该交错级数收敛。
      所以$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$收敛，结合其绝对值级数发散，可知$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$条件收敛。
  4. 确定原级数的敛散性：
    一个绝对收敛的级数与一个条件收敛的级数之和是条件收敛的，因为$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {k}{{n}^{2}}$绝对收敛，$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$条件收敛，所以$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {k+n}{{n}^{2}}$条件收敛。