题目

20. 填空题设 A=(2-3-12)，则 A=(2-3-12) = ______。

20. 填空题

设 $A = (2 \ -3 \ -1 \ 2)$ ，则 $AA^T$ = ______。

题目解答

答案

要计算 $AA^T$ ，我们首先需要明确矩阵 A 和其转置 $A^T$ 的形式。

给定矩阵

矩阵 A 是一个行向量：

$A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

转置矩阵

矩阵 $A^T$ 是一个列向量：

$A^T = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

计算 $AA^T$

矩阵 $AA^T$ 是一个 $1\times1$ 的矩阵（标量），其值为：

$AA^T = \begin{bmatrix} 2 & -3 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

进行矩阵乘法：

$=2\times2+(-3)\times(-3)+(-1)\times(-1)+2\times2$

$=4+9+1+4$

$=18$

结论

因此， $AA^T=18$ 。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的转置运算和矩阵乘法的基本概念，特别是行向量与列向量相乘的运算规则。

解题核心思路：

矩阵转置：将行向量转为列向量。
矩阵乘法：行向量与列向量的乘法本质是向量的点积，即对应元素相乘后求和。
关键点：明确矩阵乘法的顺序（行×列），并正确计算各元素的平方和。

步骤1：确定矩阵形式
原矩阵 $A$ 是行向量：
$A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$
转置矩阵 $A^T$ 是列向量：
$A^T = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$

步骤2：计算矩阵乘积 $AA^T$
根据矩阵乘法规则，行向量与列向量相乘的结果为标量：
$AA^T = 2 \times 2 + (-3) \times (-3) + (-1) \times (-1) + 2 \times 2$
逐项计算：

$2 \times 2 = 4$
$(-3) \times (-3) = 9$
$(-1) \times (-1) = 1$
$2 \times 2 = 4$

步骤3：求和
将所有结果相加：
$4 + 9 + 1 + 4 = 18$