题目
15、填空 设Ω是由|x|≤1，|y|≤1，|z|≤1所围成的空间闭区域，则intintint_(Omega)(e^y^(2)siny^3+z^2tanx+3)dv=（ ）.
15、填空 设Ω是由|x|≤1，|y|≤1，|z|≤1所围成的空间闭区域，则
$\int\int\int_{\Omega}(e^{y^{2}}siny^{3}+z^{2}tanx+3)dv=$（ ）.
题目解答
答案
为了求解三重积分 $\int\int\int_{\Omega}(e^{y^{2}}\sin y^{3} + z^{2}\tan x + 3)dv$，其中 $\Omega$ 是由 $|x| \leq 1$，$|y| \leq 1$，$|z| \leq 1$ 所围成的空间闭区域，我们可以将积分分成三部分来计算：
\[
\int\int\int_{\Omega}(e^{y^{2}}\sin y^{3} + z^{2}\tan x + 3)dv = \int\int\int_{\Omega}e^{y^{2}}\sin y^{3}dv + \int\int\int_{\Omega}z^{2}\tan xdv + \int\int\int_{\Omega}3dv
\]
### 第一部分：$\int\int\int_{\Omega}e^{y^{2}}\sin y^{3}dv$
考虑函数 $e^{y^{2}}\sin y^{3}$。这个函数关于 $y$ 是奇函数，即 $e^{(-y)^{2}}\sin(-y)^{3} = e^{y^{2}}\sin(-y^{3}) = -e^{y^{2}}\sin y^{3}$。由于积分区域 $\Omega$ 关于 $y = 0$ 对称，奇函数在对称区域上的积分等于零。因此，
\[
\int\int\int_{\Omega}e^{y^{2}}\sin y^{3}dv = 0
\]
### 第二部分：$\int\int\int_{\Omega}z^{2}\tan xdv$
考虑函数 $z^{2}\tan x$。这个函数关于 $x$ 是奇函数，即 $z^{2}\tan(-x) = -z^{2}\tan x$。由于积分区域 $\Omega$ 关于 $x = 0$ 对称，奇函数在对称区域上的积分等于零。因此，
\[
\int\int\int_{\Omega}z^{2}\tan xdv = 0
\]
### 第三部分：$\int\int\int_{\Omega}3dv$
考虑函数 $3$。这个函数是常数，积分区域 $\Omega$ 的体积为 $V = 2 \times 2 \times 2 = 8$。因此，
\[
\int\int\int_{\Omega}3dv = 3V = 3 \times 8 = 24
\]
### 结合所有部分
将三部分的结果相加，我们得到
\[
\int\int\int_{\Omega}(e^{y^{2}}\sin y^{3} + z^{2}\tan x + 3)dv = 0 + 0 + 24 = 24
\]
Thus, the answer is $\boxed{24}$.
解析
本题考查利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来计算三重积分。解题思路是将原积分拆分成三个部分分别计算，再根据积分区域的对称性判断各部分积分的值，最后将各部分结果相加得到最终答案。
- 拆分积分：
将原积分$\int\int\int_{\Omega}(e^{y^{2}}\sin y^{3} + z^{2}\tan x + 3)dv$拆分成三个积分之和，即$\int\int\int_{\Omega}(e^{y^{2}}\sin y^{3} + z^{2}\tan x + 3)dv = \int\int\int_{\Omega}e^{y^{2}}\sin y^{3}dv + \int\int\int_{\Omega}z^{2}\tan xdv + \int\int\int_{\Omega}3dv$。 - 计算$\int\int\int_{\Omega}e^{y^{2}}\sin y^{3}dv$：
- 首先判断被积函数$f(y)=e^{y^{2}}\sin y^{3}$的奇偶性，将$-y$代入函数可得$f(-y)=e^{(-y)^{2}}\sin (-y)^{3}=e^{y^{2}}\sin (-y^{3})=-e^{y^{2}}\sin y^{3}=-f(y)$，所以$f(y)$是关于$y$的奇函数。
- 已知积分区域$\Omega$是由$|x| \leq 1$，$|y| \leq 1$，$|z| \leq 1$所围成的空间闭区域，该区域关于$y = 0$对称。
- 根据奇函数在对称区域上的积分性质，可得$\int\int\int_{\Omega}e^{y^{2}}\sin y^{3}dv = 0$。
- 计算$\int\int\int_{\Omega}z^{2}\tan xdv$：
- 接着判断被积函数$g(x)=z^{2}\tan x$的奇偶性，将$-x$代入函数可得$g(-x)=z^{2}\tan (-x)=-z^{2}\tan x=-g(x)$，所以$g(x)$是关于$x$的奇函数。
- 积分区域$\Omega$关于$x = 0$对称。
- 由奇函数在对称区域上的积分性质，可知$\int\int\int_{\Omega}z^{2}\tan xdv = 0$。
- 计算$\int\int\int_{\Omega}3dv$：
- 被积函数为常数$3$，根据三重积分的性质$\int\int\int_{\Omega}kdv=kV$（其中$k$为常数，$V$为积分区域$\Omega$的体积）。
- 积分区域$\Omega$是一个棱长为$2$的正方体，其体积$V = 2\times2\times2 = 8$。
- 所以$\int\int\int_{\Omega}3dv = 3\times8 = 24$。
- 计算原积分的值：
将上述三部分的结果相加，可得$\int\int\int_{\Omega}(e^{y^{2}}\sin y^{3} + z^{2}\tan x + 3)dv = 0 + 0 + 24 = 24$。