题目

一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布.求-|||-(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率.-|||-(2)某一分钟的呼唤次数大于3的概率.


题目解答

答案

解析

泊松分布适用于描述单位时间内事件发生的次数，其概率质量函数为：
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad (k=0,1,2,\dots)$
其中参数$\lambda$表示平均发生次数。本题中，$\lambda=4$。

  1. 第（1）题：直接代入公式计算$k=8$时的概率。
  2. 第（2）题：利用互补事件简化计算，即$P(X>3) = 1 - P(X \leq 3)$，需逐项求和$k=0,1,2,3$的概率后相减。

第（1）题

代入泊松公式

$P(X=8) = \frac{4^8 e^{-4}}{8!}$

计算数值

  • $4^8 = 65536$
  • $8! = 40320$
  • $e^{-4} \approx 0.01831563888$
    $P(X=8) = \frac{65536 \times 0.01831563888}{40320} \approx 0.0298$

第（2）题

计算累积概率$P(X \leq 3)$

逐项计算并求和：

  • $P(X=0) = \frac{4^0 e^{-4}}{0!} = e^{-4} \approx 0.0183$
  • $P(X=1) = \frac{4^1 e^{-4}}{1!} = 4e^{-4} \approx 0.0733$
  • $P(X=2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} \approx 0.1465$
  • $P(X=3) = \frac{4^3 e^{-4}}{3!} = \frac{64e^{-4}}{6} \approx 0.1954$

求和并求补集

$P(X \leq 3) \approx 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 + 0.1954 = 0.4335$
$P(X > 3) = 1 - 0.4335 = 0.5665$