题目
在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: (1)(x-2y)y′=2x-y, x2-xy+y2=C; (2)(xy-x)y′′+xy′2+yy′-2y′=0, y=ln(xy).
在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:
(1)(x-2y)y′=2x-y, x2-xy+y2=C;
(2)(xy-x)y′′+xy′2+yy′-2y′=0, y=ln(xy).
题目解答
答案
解(1) 将x2-xy+y2=C的两边对x求导得2x-y-xy′+2yy′=0,
即 (x-2y)y′=2x-y, 所以由x2-xy+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解.
(2) 将y=ln(xy)的两边对x求导得
, 即
. 再次求导得
.
注意到由可得
, 所以
,
从而 (xy-x)y′′+xy′2+yy′-2y′=0,
即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.