题目
n 阶行列式的展开式中含 a_(11)a_(12) 的项共有 ( ) 项.A. (n-1)!B. (n-2)!C. n-2D. 0
$n$ 阶行列式的展开式中含 $a_{11}a_{12}$ 的项共有 ( ) 项.
A. $(n-1)!$
B. $(n-2)!$
C. $n-2$
D. $0$
题目解答
答案
D. $0$
解析
考查要点:本题主要考查行列式展开式的性质,特别是元素在展开式中出现的规律。
解题核心思路:
行列式的展开式中,每一项都是不同行且不同列的元素乘积。若某两项来自同一行或同一列,则它们无法同时出现在同一项中。
破题关键点:
- 行列式展开的结构:每个乘积项对应一个排列,要求元素的行标和列标均不重复。
- 矛盾分析:题目要求同时包含$a_{11}$和$a_{12}$,但这两个元素位于同一行,因此无法满足行列式展开的规则,必然导致矛盾。
行列式的展开式中,每一项的形式为$a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$,其中$\sigma$是$1$到$n$的排列,且每个列标$\sigma(i)$互不相同。
若某项同时包含$a_{11}$和$a_{12}$,则:
- 行标冲突:这两个元素的行标均为$1$,违反了“不同行元素相乘”的规则。
- 列标冲突:即使忽略行标问题,列标$1$和$2$也无法同时在第一行中被选取(因为排列要求列标唯一)。
因此,不存在任何项同时包含$a_{11}$和$a_{12}$,答案为$0$。