题目
int_(L)(x^2-y)dx-(x+sin^2 y)dy，其中 L 是圆周 y=sqrt(2x-x^2) 由点 (0,0) 到 (1,1) 的一段弧。A. -(7)/(6)B. sin 2C. (sin 2)/(4) - (7)/(6)D. (7)/(6) - (1)/(4)sin 2
$\int_{L}(x^{2}-y)dx-(x+\sin^2 y)dy$，其中 $L$ 是圆周 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 由点 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的一段弧。
A. $-\frac{7}{6}$
B. $\sin 2$
C. $\frac{\sin 2}{4} - \frac{7}{6}$
D. $\frac{7}{6} - \frac{1}{4}\sin 2$
题目解答
答案
C. $\frac{\sin 2}{4} - \frac{7}{6}$
解析
步骤 1：确定闭合曲线
将曲线 $L$ 与直线段 $L_1$（从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$）构成闭合曲线，应用格林公式。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 \] 闭合曲线积分为 0，故 \[ \int_{L} = -\int_{L_1} \]
步骤 3：计算直线段 $L_1$ 的积分
直线段 $L_1$：$y = x$， \[ \int_{L_1} = \int_{1}^{0} [(x^2 - x) - (x + \sin^2 x)]dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + \sin^2 x)dx \] 计算得 \[ \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + \sin^2 x)dx = \frac{7}{6} - \frac{\sin 2}{4} \] 因此， \[ \int_{L} = \frac{\sin 2}{4} - \frac{7}{6} \]
将曲线 $L$ 与直线段 $L_1$（从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$）构成闭合曲线，应用格林公式。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数： \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = -1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 \] 闭合曲线积分为 0，故 \[ \int_{L} = -\int_{L_1} \]
步骤 3：计算直线段 $L_1$ 的积分
直线段 $L_1$：$y = x$， \[ \int_{L_1} = \int_{1}^{0} [(x^2 - x) - (x + \sin^2 x)]dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + \sin^2 x)dx \] 计算得 \[ \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + \sin^2 x)dx = \frac{7}{6} - \frac{\sin 2}{4} \] 因此， \[ \int_{L} = \frac{\sin 2}{4} - \frac{7}{6} \]