【例2.2】设f(x)=}(1-cos x)/(sqrt(x)),x>0,x^2g(x),xleqslant 0,其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处（）A. 极限不存在.B. 极限存在,但不连续.C. 连续,但不可导.D. 可导.

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性和可导性判断，涉及极限计算、泰勒展开、有界函数的应用。

解题核心思路：

1. 连续性：分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$的极限，验证是否等于$f(0)$。
2. 可导性：利用导数定义，分别计算左右导数的极限是否存在且相等。

破题关键点：

• 右极限：利用泰勒展开$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$简化表达式。
• 左极限：结合有界函数性质，通过不等式放缩判断极限。
• 导数计算：分左右极限代入导数定义，注意分母的处理和有界函数的收敛性。

连续性分析

右极限（$x \to 0^+$）

当$x \to 0^+$时，分子$1 - \cos x$可用泰勒展开近似为$\frac{x^2}{2}$，因此：
$f(x) = \frac{1 - \cos x}{\sqrt{x}} \sim \frac{x^2/2}{\sqrt{x}} = \frac{x^{3/2}}{2} \to 0.$

左极限（$x \to 0^-$）

当$x \to 0^-$时，$x^2$非负，且$g(x)$有界（即存在常数$M > 0$使得$|g(x)| \leq M$），因此：
$|f(x)| = |x^2 g(x)| \leq M x^2 \to 0.$

函数值$f(0)$

由定义$f(0) = 0^2 g(0) = 0$，故$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$，函数在$x=0$处连续。

可导性分析

导数定义

导数定义为：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}.$

右导数（$h \to 0^+$）

$\frac{f(h)}{h} = \frac{1 - \cos h}{h^{3/2}} \sim \frac{h^2/2}{h^{3/2}} = \frac{h^{1/2}}{2} \to 0.$

左导数（$h \to 0^-$）

$\frac{f(h)}{h} = \frac{h^2 g(h)}{h} = h g(h).$
由于$|h g(h)| \leq M |h| \to 0$，故左导数极限为$0$。

结论：左右导数极限均为$0$，故$f'(0) = 0$，函数在$x=0$处可导。