已知y1=3，y2=3+x2，y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解．

考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程的解的结构、通解的求解方法，以及如何根据已知特解构造原微分方程。

解题核心思路：

1. 确定齐次方程的解：利用非齐次方程特解之差得到齐次方程的两个线性无关解。
2. 构造齐次方程：通过齐次解构造对应的齐次微分方程。
3. 确定非齐次项：利用特解代入方程求出非齐次项，得到原方程。
4. 写出通解：齐次通解加非齐次特解。

破题关键点：

• 非齐次方程特解之差为齐次解：通过$y_2 - y_1 = x^2$和$y_3 - y_1 = e^x$确定齐次方程的两个解。
• 构造齐次方程：通过消去参数法或Wronskian行列式构造齐次方程。
• 确定非齐次项：将特解$y=3$代入齐次方程变形后的方程，求出非齐次项。

步骤1：确定齐次方程的解

非齐次方程的三个特解为$y_1=3$，$y_2=3+x^2$，$y_3=3+e^x$。根据非齐次方程解的性质：

• $y_2 - y_1 = x^2$ 是齐次方程的解，
• $y_3 - y_1 = e^x$ 是齐次方程的解。

因此，齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 x^2 + C_2 e^x$

步骤2：构造齐次方程

假设齐次方程为$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$，将$y_1 = x^2$和$y_2 = e^x$代入方程，解得：
$P(x) = -\frac{2}{x}, \quad Q(x) = \frac{2}{x^2} - 1$
整理后齐次方程为：
$(2x - x^2)y'' + (x^2 - 2)y' + 2(1 - x)y = 0$

步骤3：确定非齐次项

将特解$y=3$代入齐次方程变形后的方程：
$(2x - x^2)y'' + (x^2 - 2)y' + 2(1 - x)y = f(x)$
计算得$f(x) = 6(1 - x)$，因此原非齐次方程为：
$(2x - x^2)y'' + (x^2 - 2)y' + 2(1 - x)y = 6(1 - x)$

步骤4：写出通解

通解为齐次解加非齐次特解：
$y = C_1 x^2 + C_2 e^x + 3$