题目
17. (5.0分) 随机变量X,Y独立且服从相同的分布，X的分布律为 PX=i=(1)/(3),i=1,2,3 ，Z=maxX,Y ，则E(Z)=().A. 2B. 4C. (22)/(9)D. (14)/(9)
17. (5.0分) 随机变量X,Y独立且服从相同的分布，X的分布律为 $P\{X=i\}=\frac{1}{3},i=1,2,3$ ，$Z=max\{X,Y\}$ ，则E(Z)=().
A. 2
B. 4
C. $\frac{22}{9}$
D. $\frac{14}{9}$
题目解答
答案
C. $\frac{22}{9}$
解析
步骤 1：确定 $ Z = \max\{X, Y\} $ 的可能取值
$ Z $ 的可能取值为1、2、3，因为 $ X $ 和 $ Y $ 的取值范围是1、2、3，且 $ Z $ 是 $ X $ 和 $ Y $ 中的最大值。
步骤 2：计算各取值的概率
- $ P\{Z = 1\} = P\{X = 1, Y = 1\} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
- $ P\{Z = 2\} = P\{X \leq 2, Y \leq 2\} - P\{X \leq 1, Y \leq 1\} = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{3} $
- $ P\{Z = 3\} = 1 - P\{Z = 1\} - P\{Z = 2\} = 1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{5}{9} $
步骤 3：计算期望 $ E(Z) $
\[ E(Z) = 1 \times \frac{1}{9} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{5}{9} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} + \frac{15}{9} = \frac{22}{9} \]
$ Z $ 的可能取值为1、2、3，因为 $ X $ 和 $ Y $ 的取值范围是1、2、3，且 $ Z $ 是 $ X $ 和 $ Y $ 中的最大值。
步骤 2：计算各取值的概率
- $ P\{Z = 1\} = P\{X = 1, Y = 1\} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $
- $ P\{Z = 2\} = P\{X \leq 2, Y \leq 2\} - P\{X \leq 1, Y \leq 1\} = \frac{4}{9} - \frac{1}{9} = \frac{1}{3} $
- $ P\{Z = 3\} = 1 - P\{Z = 1\} - P\{Z = 2\} = 1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{5}{9} $
步骤 3：计算期望 $ E(Z) $
\[ E(Z) = 1 \times \frac{1}{9} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{5}{9} = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} + \frac{15}{9} = \frac{22}{9} \]