计算不定积分 int dfrac (2x+1)(sqrt {4-{x)^2}}dx .

步骤 1：代换
令 $x=2\sin t$，其中 $-\dfrac {\pi }{2}\lt t\lt \dfrac {\pi }{2}$，则 $dx=2\cos tdt$。
步骤 2：代入
将 $x=2\sin t$ 和 $dx=2\cos tdt$ 代入原积分，得到
$$
\int \dfrac {2x+1}{\sqrt {4-{x}^{2}}}dx = \int \dfrac {2\cdot 2\sin t+1}{\sqrt {4-(2\sin t)^2}}2\cos tdt
$$
步骤 3：化简
化简上式，得到
$$
\int \dfrac {4\sin t+1}{\sqrt {4-4\sin^2 t}}2\cos tdt = \int \dfrac {4\sin t+1}{2\cos t}2\cos tdt = \int (4\sin t+1)dt
$$
步骤 4：积分
对上式进行积分，得到
$$
\int (4\sin t+1)dt = -4\cos t + t + C
$$
步骤 5：反代换
将 $t=\arcsin \dfrac {x}{2}$ 代入上式，得到
$$
-4\cos t + t + C = -4\sqrt {1-\sin^2 t} + \arcsin \dfrac {x}{2} + C = -4\sqrt {1-\left(\dfrac {x}{2}\right)^2} + \arcsin \dfrac {x}{2} + C
$$
步骤 6：化简
化简上式，得到
$$
-4\sqrt {1-\left(\dfrac {x}{2}\right)^2} + \arcsin \dfrac {x}{2} + C = -4\sqrt {1-\dfrac {x^2}{4}} + \arcsin \dfrac {x}{2} + C = -2\sqrt {4-x^2} + \arcsin \dfrac {x}{2} + C
$$