题目
int dfrac (x)(sqrt {2-3{x)^2}}dx。
。
题目解答
答案
利用凑微分法求不定积分：
解析
步骤 1：确定积分形式
观察积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}dx$，我们发现分母是根号下的二次多项式，分子是 $x$，这提示我们可能需要使用凑微分法来求解。
步骤 2：凑微分
为了凑微分，我们注意到 $d(2-3x^2) = -6x dx$，因此可以将原积分写为：
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}dx = -\dfrac{1}{6} \int \dfrac{-6x}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}dx$$
这样，我们就可以将 $-6x dx$ 看作是 $d(2-3x^2)$。
步骤 3：积分求解
将 $-6x dx$ 替换为 $d(2-3x^2)$，原积分变为：
$$-\dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}d(2-3{x}^{2})$$
这相当于求 $\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}du$ 的形式，其中 $u = 2-3x^2$，因此积分结果为：
$$-\dfrac{1}{6} \cdot 2\sqrt{2-3x^2} + C$$
简化得到：
$$-\dfrac{1}{3}\sqrt{2-3x^2} + C$$
观察积分 $\int \dfrac {x}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}dx$，我们发现分母是根号下的二次多项式，分子是 $x$，这提示我们可能需要使用凑微分法来求解。
步骤 2：凑微分
为了凑微分，我们注意到 $d(2-3x^2) = -6x dx$，因此可以将原积分写为：
$$\int \dfrac {x}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}dx = -\dfrac{1}{6} \int \dfrac{-6x}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}dx$$
这样，我们就可以将 $-6x dx$ 看作是 $d(2-3x^2)$。
步骤 3：积分求解
将 $-6x dx$ 替换为 $d(2-3x^2)$，原积分变为：
$$-\dfrac{1}{6} \int \dfrac{1}{\sqrt {2-3{x}^{2}}}d(2-3{x}^{2})$$
这相当于求 $\int \dfrac{1}{\sqrt{u}}du$ 的形式，其中 $u = 2-3x^2$，因此积分结果为：
$$-\dfrac{1}{6} \cdot 2\sqrt{2-3x^2} + C$$
简化得到：
$$-\dfrac{1}{3}\sqrt{2-3x^2} + C$$