题目
51.（2.0分）【判断题】设Σ为球面x^2+y^2+z^2=R^2，则iintlimits_(Sigma)x^2dS=(4)/(3)pi R^4.A 对B 错
51.（2.0分）【判断题】设Σ为球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$，则$\iint\limits_{\Sigma}x^{2}dS=\frac{4}{3}\pi R^{4}$.
A 对
B 错
题目解答
答案
利用球面的对称性，有 $\iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \iint_{\Sigma} y^2 \, dS = \iint_{\Sigma} z^2 \, dS$。
由 $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，得
\[
\iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dS = R^2 \iint_{\Sigma} dS = R^2 \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^4.
\]
因此，
\[
3 \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = 4\pi R^4 \implies \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \frac{4\pi R^4}{3}.
\]
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：利用球面的对称性
球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$在空间中是完全对称的，因此在球面上积分$x^{2}$、$y^{2}$和$z^{2}$的值是相等的。即有
\[ \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \iint_{\Sigma} y^2 \, dS = \iint_{\Sigma} z^2 \, dS. \]
步骤 2：计算球面的表面积
球面的表面积$S$可以通过公式$S = 4\pi R^2$计算得到，其中$R$是球的半径。
步骤 3：计算积分$\iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dS$
由于$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，所以
\[ \iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dS = R^2 \iint_{\Sigma} dS = R^2 \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^4. \]
步骤 4：计算积分$\iint_{\Sigma} x^2 \, dS$
由于$\iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \iint_{\Sigma} y^2 \, dS = \iint_{\Sigma} z^2 \, dS$，所以
\[ 3 \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = 4\pi R^4 \implies \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \frac{4\pi R^4}{3}. \]
球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$在空间中是完全对称的，因此在球面上积分$x^{2}$、$y^{2}$和$z^{2}$的值是相等的。即有
\[ \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \iint_{\Sigma} y^2 \, dS = \iint_{\Sigma} z^2 \, dS. \]
步骤 2：计算球面的表面积
球面的表面积$S$可以通过公式$S = 4\pi R^2$计算得到，其中$R$是球的半径。
步骤 3：计算积分$\iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dS$
由于$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$，所以
\[ \iint_{\Sigma} (x^2 + y^2 + z^2) \, dS = R^2 \iint_{\Sigma} dS = R^2 \cdot 4\pi R^2 = 4\pi R^4. \]
步骤 4：计算积分$\iint_{\Sigma} x^2 \, dS$
由于$\iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \iint_{\Sigma} y^2 \, dS = \iint_{\Sigma} z^2 \, dS$，所以
\[ 3 \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = 4\pi R^4 \implies \iint_{\Sigma} x^2 \, dS = \frac{4\pi R^4}{3}. \]