题目

设R^4的一组基为α_(1),α_(2),α_(3),α_(4),令beta_(1)=α_(1)+α_(2),beta_(2)=α_(2)+α_(3),beta_(3)=α_(3)+α_(4),beta_(4)=α_(1)+α_(4),11.（5.0分）则由beta_(1),beta_(2),beta_(3),beta_(4)生成的向量空间的维数为____

设$R^{4}$的一组基为$α_{1},α_{2},α_{3},α_{4},$令 $\beta_{1}=α_{1}+α_{2},\beta_{2}=α_{2}+α_{3},\beta_{3}=α_{3}+α_{4},\beta_{4}=α_{1}+α_{4},$ 11.（5.0分）则由$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$生成的向量空间的维数为____

题目解答

答案

将向量 $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 表示为基向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的线性组合，得到矩阵 $A$： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] 对 $A$ 进行初等行变换化为行阶梯形： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 矩阵的秩为3，即向量空间的维数为 $\boxed{3}$。

解析

本题考查向量空间维数的计算，解题的关键思路是将向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$用已知基$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{44}$线性线性表示，得到一个矩阵，然后通过求该矩阵的秩来确定由$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$生成的向量空间的维数。

步骤一：将向量$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$用基$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$线性表示

已知$\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$，$\beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}$，$\beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$，$\beta_{4}=\alpha_{1}+\alpha_{4}$，写成矩阵形式为：
$(\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
设$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$。

步骤二：对矩阵$A$进行初等行变换化为行阶梯形矩阵

  • 第二行减去第一行：
    $A\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 &0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
  • 第三行减去第二行：
    $A\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 &0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
  • 第四行减去第三行：
    $A\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 &0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

步骤三：确定矩阵$A$的秩

行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩，由上述行阶梯形矩阵可知，矩阵$A$的秩$r(A)=3$。

步骤四：得出向量空间的维数

根据向量组的秩与向量空间维数的关系，由$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$生成的向量空间的维数等于矩阵$A$的秩，所以由$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4}$生成的向量空间的维数为$3$。