题目
a , - . --- -" " ",-, , .-|||-10.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20 m长的墙壁.问应围成怎样的长方-|||-形才能使这间小屋的面积最大?
题目解答
答案
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确设出未知数，表示出面积，属于基础题。
设长方形的宽为$am$，它的长为$\left(20-2a\right)m$，
因为长方形的长和宽越接近，则其面积越大。
所以长方形的宽应是$5m$，长是$10m$，
则此长方形的面积最大为：$10\times 5=50\left({\mathit{m}}^{2}\right)$。
故答案为：长方形的宽是$5m$，长是$10m$。
解 设长方形小屋的宽为xm,则其长为 $(20-2x)m$, 且 $0\lt x\lt 10$, 小屋的面积为 $S=x(20-2x)=-2{x}^{2}+20x$, $S'=-4x+20$, 令 $S'=0$, 得唯一解 $x=5$, 此时有 ${S}_{max}=50$. 即当长方形的长为10m,宽为5m时,小屋的面积最大.
解析
步骤 1：设长方形的宽为 $x$ 米
设长方形小屋的宽为 $x$ 米，则其长为 $(20-2x)$ 米，因为小屋靠墙，所以只用砌三面墙，即两面宽和一面长。
步骤 2：表示小屋的面积
小屋的面积 $S$ 可以表示为 $S = x(20-2x) = -2x^2 + 20x$。
步骤 3：求导数并找到极值点
对面积函数 $S$ 求导，得到 $S' = -4x + 20$。令 $S' = 0$，解得 $x = 5$ 米。这是面积函数的唯一极值点。
步骤 4：验证极值点为最大值
由于 $S'' = -4 < 0$，所以 $x = 5$ 米时，面积 $S$ 达到最大值。
步骤 5：计算最大面积
将 $x = 5$ 米代入面积公式，得到最大面积 $S_{max} = 50$ 平方米。
设长方形小屋的宽为 $x$ 米，则其长为 $(20-2x)$ 米，因为小屋靠墙，所以只用砌三面墙，即两面宽和一面长。
步骤 2：表示小屋的面积
小屋的面积 $S$ 可以表示为 $S = x(20-2x) = -2x^2 + 20x$。
步骤 3：求导数并找到极值点
对面积函数 $S$ 求导，得到 $S' = -4x + 20$。令 $S' = 0$，解得 $x = 5$ 米。这是面积函数的唯一极值点。
步骤 4：验证极值点为最大值
由于 $S'' = -4 < 0$，所以 $x = 5$ 米时，面积 $S$ 达到最大值。
步骤 5：计算最大面积
将 $x = 5$ 米代入面积公式，得到最大面积 $S_{max} = 50$ 平方米。