设正项级数 sum_(n=1)^infty a_n，以下哪种审敛法可用于判断该级数的敛散性？A. 比较审敛法B. 比值审敛法C. 根值审敛法D. 以上都可以

本题考查正项级数敛散性的审敛法相关知识。解题思路是分别分析每个选项所涉及的审敛法是否适用于正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$。

选项A：比较审敛法

比较审敛法是判断正项级数敛散性的常用方法。设 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ 都是正项级数，且存在正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $a_n \leq b_n$。

• 若 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ 收敛，则根据正项级数的性质，$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 也收敛。因为大的级数收敛，小的级数必然收敛。
• 若 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 发散，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} b_n$ 也发散。因为小的级数发散，大的级数肯定发散。所以比较审敛法可用于判断正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 的敛散性。

选项B：比值审敛法

对于正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$，设 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \rho$。

• 当 $\rho < 1$ 时，根据比值审敛法的理论，存在正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $\frac{a_{n + 1}}{a_n} < 1$，即 $a_{n + 1} < a_n$，此时级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 收敛。
• 当 $\rho > 1$（包括 $\rho = +\infty$）时，存在正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $\frac{a_{n + 1}}{a_n} > 1$，即 $a_{n + 1} > a_n$，那么 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，根据级数收敛的必要条件可知，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 发散。
• 当 $\rho = 1$ 时，比值审敛法失效，但这并不影响它在 $\rho \neq 1$ 情况下对正项级数敛散性的判断。所以比值审敛法可用于判断正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 的敛散性。

选项C：根值审敛法

对于正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$，设 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \rho$。

• 当 $\rho < 1$ 时，存在正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $\sqrt[n]{a_n} < 1$，即 $a_n < 1$，且可以进一步说明级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 收敛。
• 当 $\rho > 1$（包括 $\rho = +\infty$）时，存在正整数 $N$，当 $n \geq N$ 时，有 $\sqrt[n]{a_n} > 1$，即 $a_n > 1$，那么 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，根据级数收敛的必要条件可知，级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 发散。
• 当 $\rho = 1$ 时，根值审敛法失效，但同样不影响它在 $\rho \neq 1$ 情况下对正项级数敛散性的判断。所以根值审敛法可用于判断正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 的敛散性。

综上，比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法都可以用于判断正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ 的敛散性。