[题目]当 gt 0 时,证明: -dfrac ({x)^2}(2)lt ln (1+x)lt x.

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，核心思路是通过构造适当的辅助函数，分析其单调性来比较函数值的大小关系。

解题核心：

1. 构造函数：将不等式转化为函数形式，通过研究函数的单调性来推导不等式。
2. 导数应用：通过求导判断函数的单调性，结合初始值确定函数值的符号。
3. 分步证明：分别证明不等式左右两边的不等关系，最终综合得到结论。

证明 $\ln(1+x) < x$

构造辅助函数

设 $f(x) = \ln(1+x) - x$。

求导分析单调性

求导得：
$f'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1 - (x+1)}{x+1} = \frac{-x}{x+1}.$
当 $x > 0$ 时，$f'(x) < 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

利用初始值判断符号

因为 $f(0) = \ln 1 - 0 = 0$，且 $f(x)$ 单调递减，所以当 $x > 0$ 时：
$f(x) < f(0) = 0 \implies \ln(1+x) < x.$

证明 $x - \dfrac{x^2}{2} < \ln(1+x)$

构造辅助函数

设 $g(x) = x - \dfrac{x^2}{2} - \ln(1+x)$。

求导分析单调性

求导得：
$g'(x) = 1 - x - \frac{1}{x+1} = \frac{(1 - x)(x+1) - 1}{x+1} = \frac{-x^2}{x+1}.$
当 $x > 0$ 时，$g'(x) = -\dfrac{x^2}{x+1} < 0$，说明 $g(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

利用初始值判断符号

因为 $g(0) = 0 - 0 - \ln 1 = 0$，且 $g(x)$ 单调递减，所以当 $x > 0$ 时：
$g(x) < g(0) = 0 \implies x - \dfrac{x^2}{2} < \ln(1+x).$