(本题满分6分)计算积分(int )_(dfrac {1)(2)}^dfrac (3{2)}dfrac (dx)(sqrt {|x-{x)^2|}}.

考查要点：本题主要考查广义积分的计算，涉及绝对值函数的分段处理、变量替换技巧以及积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 识别无穷间断点：被积函数在$x=1$处存在无穷间断点，需将积分拆分为$\int_{1/2}^1$和$\int_1^{3/2}$两部分。
2. 分段处理绝对值：根据$x$的范围，将$|x^2 - x|$拆分为$x - x^2$（$0 \leq x \leq 1$）和$x^2 - x$（$x > 1$）。
3. 变量替换简化积分：
   • 第一部分：通过三角替换，转化为反正弦函数形式。
   • 第二部分：通过正割替换，转化为对数函数形式。

破题关键：正确拆分积分区间后，灵活选择变量替换，将积分转化为标准形式。

拆分积分区间

被积函数在$x=1$处无界，故将积分拆分为：
$\int_{1/2}^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{|x^2 - x|}} = \int_{1/2}^1 \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}} + \int_1^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{x^2 - x}}$

计算第一部分积分 $\int_{1/2}^1 \frac{dx}{\sqrt{x - x^2}}$

1. 配方处理：
   $x - x^2 = \frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$
2. 变量替换：令$u = 2x - 1$，则$du = 2dx$，积分变为：
   $\int_{0}^{1} \frac{du/2}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(\frac{u}{2}\right)^2}} = \int_{0}^{1} \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \arcsin(u) \Big|_{0}^{1} = \frac{\pi}{2}$

计算第二部分积分 $\int_1^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{x^2 - x}}$

1. 配方处理：
   $x^2 - x = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$
2. 正割替换：令$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec t$，则$dx = \frac{1}{2} \sec t \tan t \, dt$，积分变为：
   $\int_{0}^{\pi/3} \frac{\frac{1}{2} \sec t \tan t \, dt}{\frac{1}{2} \tan t} = \int_{0}^{\pi/3} \sec t \, dt = \ln \left| \sec t + \tan t \right| \Big|_{0}^{\pi/3} = \ln(2 + \sqrt{3})$

合并结果

$\text{原积分} = \frac{\pi}{2} + \ln(2 + \sqrt{3})$