题目
设x_(0)=0,x_(n)=(1+2x_(n-1))/(1+x_(n-1))(n=1,2,3,...),则lim_(ntoinfty)x_(n)=
设$x_{0}=0,x_{n}=\frac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3,\cdots)$,则$\lim_{n\to\infty}x_{n}=$
题目解答
答案
设数列极限为 $A$，则由递推公式 $x_n = \frac{1 + 2x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$，取极限得：
\[
A = \frac{1 + 2A}{1 + A}
\]
化简得：
\[
A^2 - A - 1 = 0
\]
解得：
\[
A = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]
由 $x_0 = 0$ 及数列单调递增（可证），极限应为正解：
\[
\boxed{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查递推数列的极限求解，涉及不动点法的应用以及数列单调性的判断。
解题核心思路：
- 假设极限存在，设为$A$，代入递推公式得到关于$A$的方程。
- 解方程得到可能的极限值，结合数列的单调性和初始值排除不合理解。
破题关键点：
- 递推公式的极限形式：当数列收敛时，极限满足$A = \frac{1 + 2A}{1 + A}$。
- 方程求解：通过代数变形得到二次方程，注意舍去不符合数列趋势的解。
- 数列单调性：通过计算前几项或归纳证明，判断数列单调递增，从而确定极限为正根。
步骤1：假设极限存在
设$\lim_{n \to \infty} x_n = A$，则递推公式两边取极限得：
$A = \frac{1 + 2A}{1 + A}$
步骤2：解方程求可能的极限值
两边同乘$(1 + A)$，整理得：
$A^2 - A - 1 = 0$
解得：
$A = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
步骤3：排除不合理解
- 计算前几项：$x_0 = 0$，$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{3}{2}$，$x_3 = \frac{8}{5}$，数列单调递增且为正数。
- 负根$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$不符合数列趋势，故舍去。
- 极限为正根：
$A = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$