题目
1. (12分)设有A,B,C三个事件，已知A与C互不相容，B与C相互独立，且 P(A)=(1)/(12)，P(B)=(1)/(3)，P(C)=(1)/(4)，P(Aoverline(B))=0.求P(ABC)，P(AB)，P(A∪B)，P(A|B)，P(BC)，P(A∪B∪C).
1. (12分)设有A,B,C三个事件，已知A与C互不相容，B与C相互独立，且
$P(A)=\frac{1}{12}$，$P(B)=\frac{1}{3}$，$P(C)=\frac{1}{4}$，$P(A\overline{B})=0$.求P(ABC)，P(AB)，P(A∪B)，P(A|B)，P(BC)，P(A∪B∪C).
题目解答
答案
1. **求 $P(ABC)$**
由于 $A$ 与 $C$ 互不相容，$ABC = \emptyset$，故 $P(ABC) = 0$。
2. **求 $P(AB)$**
由 $P(A\overline{B}) = 0$，得 $P(AB) = P(A) = \frac{1}{12}$。
3. **求 $P(A \cup B)$**
利用公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，得
$P(A \cup B) = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$。
4. **求 $P(A \mid B)$**
由条件概率公式 $P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，得
$P(A \mid B) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$。
5. **求 $P(BC)$**
由独立性 $P(BC) = P(B)P(C)$，得
$P(BC) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。
6. **求 $P(A \cup B \cup C)$**
利用公式 $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$，得
$P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
P(ABC) = 0, & P(AB) = \frac{1}{12}, \\
P(A \cup B) = \frac{1}{3}, & P(A \mid B) = \frac{1}{4}, \\
P(BC) = \frac{1}{12}, & P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{2}.
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：求 $P(ABC)$
由于 $A$ 与 $C$ 互不相容，$ABC = \emptyset$，故 $P(ABC) = 0$。
步骤 2：求 $P(AB)$
由 $P(A\overline{B}) = 0$，得 $P(AB) = P(A) = \frac{1}{12}$。
步骤 3：求 $P(A \cup B)$
利用公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，得 $P(A \cup B) = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$。
步骤 4：求 $P(A \mid B)$
由条件概率公式 $P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，得 $P(A \mid B) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$。
步骤 5：求 $P(BC)$
由独立性 $P(BC) = P(B)P(C)$，得 $P(BC) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。
步骤 6：求 $P(A \cup B \cup C)$
利用公式 $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$，得 $P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$。
由于 $A$ 与 $C$ 互不相容，$ABC = \emptyset$，故 $P(ABC) = 0$。
步骤 2：求 $P(AB)$
由 $P(A\overline{B}) = 0$，得 $P(AB) = P(A) = \frac{1}{12}$。
步骤 3：求 $P(A \cup B)$
利用公式 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，得 $P(A \cup B) = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$。
步骤 4：求 $P(A \mid B)$
由条件概率公式 $P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，得 $P(A \mid B) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$。
步骤 5：求 $P(BC)$
由独立性 $P(BC) = P(B)P(C)$，得 $P(BC) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。
步骤 6：求 $P(A \cup B \cup C)$
利用公式 $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC)$，得 $P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$。