题目
计算曲线积分I=|3x^2ydx+(x^3 +x-2y)dy,其中L是第一象限中从点-|||-(0,0)沿圆周 ^2+(y)^2=2x 到点(2,0),再沿圆周 ^2+(y)^2=4 到点(0,2)曲线段;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线L的参数方程
曲线L由两部分组成，第一部分是圆周${x}^{2}+{y}^{2}=2x$，第二部分是圆周${x}^{2}+{y}^{2}=4$。首先，我们对这两部分分别求参数方程。
对于第一部分，${x}^{2}+{y}^{2}=2x$，可以改写为$(x-1)^{2}+y^{2}=1$，这是一个圆心在(1,0)、半径为1的圆。在第一象限中，从点(0,0)到点(2,0)，我们可以用参数方程$x=1+\cos\theta$，$y=\sin\theta$，其中$\theta$从$\pi/2$变到$0$。
对于第二部分，${x}^{2}+{y}^{2}=4$，这是一个圆心在(0,0)、半径为2的圆。在第一象限中，从点(2,0)到点(0,2)，我们可以用参数方程$x=2\cos\theta$，$y=2\sin\theta$，其中$\theta$从$0$变到$\pi/2$。
步骤 2：计算曲线积分
根据曲线积分的定义，我们有
$$I=\int_{L}3x^{2}ydx+(x^{3}+x-2y)dy$$
将曲线L分成两部分，分别计算积分。
对于第一部分，$x=1+\cos\theta$，$y=\sin\theta$，$dx=-\sin\theta d\theta$，$dy=\cos\theta d\theta$，代入积分式，得
$$I_{1}=\int_{\pi/2}^{0}3(1+\cos\theta)^{2}\sin\theta(-\sin\theta)d\theta+\int_{\pi/2}^{0}((1+\cos\theta)^{3}+(1+\cos\theta)-2\sin\theta)\cos\theta d\theta$$
对于第二部分，$x=2\cos\theta$，$y=2\sin\theta$，$dx=-2\sin\theta d\theta$，$dy=2\cos\theta d\theta$，代入积分式，得
$$I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}3(2\cos\theta)^{2}(2\sin\theta)(-2\sin\theta)d\theta+\int_{0}^{\pi/2}((2\cos\theta)^{3}+2\cos\theta-4\sin\theta)2\cos\theta d\theta$$
步骤 3：计算积分
计算$I_{1}$和$I_{2}$，得
$$I_{1}=\int_{\pi/2}^{0}(-3\sin^{2}\theta-6\sin^{3}\theta-3\sin^{4}\theta)d\theta+\int_{\pi/2}^{0}(\cos^{4}\theta+3\cos^{3}\theta+3\cos^{2}\theta+\cos\theta-2\sin\theta\cos\theta)d\theta$$
$$I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}(-48\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta)d\theta+\int_{0}^{\pi/2}(16\cos^{4}\theta+4\cos^{2}\theta-8\sin\theta\cos\theta)d\theta$$
计算积分，得
$$I_{1}=\frac{\pi}{2}-4$$
$$I_{2}=0$$
因此，曲线积分$I=I_{1}+I_{2}=\frac{\pi}{2}-4$。
曲线L由两部分组成，第一部分是圆周${x}^{2}+{y}^{2}=2x$，第二部分是圆周${x}^{2}+{y}^{2}=4$。首先，我们对这两部分分别求参数方程。
对于第一部分，${x}^{2}+{y}^{2}=2x$，可以改写为$(x-1)^{2}+y^{2}=1$，这是一个圆心在(1,0)、半径为1的圆。在第一象限中，从点(0,0)到点(2,0)，我们可以用参数方程$x=1+\cos\theta$，$y=\sin\theta$，其中$\theta$从$\pi/2$变到$0$。
对于第二部分，${x}^{2}+{y}^{2}=4$，这是一个圆心在(0,0)、半径为2的圆。在第一象限中，从点(2,0)到点(0,2)，我们可以用参数方程$x=2\cos\theta$，$y=2\sin\theta$，其中$\theta$从$0$变到$\pi/2$。
步骤 2：计算曲线积分
根据曲线积分的定义，我们有
$$I=\int_{L}3x^{2}ydx+(x^{3}+x-2y)dy$$
将曲线L分成两部分，分别计算积分。
对于第一部分，$x=1+\cos\theta$，$y=\sin\theta$，$dx=-\sin\theta d\theta$，$dy=\cos\theta d\theta$，代入积分式，得
$$I_{1}=\int_{\pi/2}^{0}3(1+\cos\theta)^{2}\sin\theta(-\sin\theta)d\theta+\int_{\pi/2}^{0}((1+\cos\theta)^{3}+(1+\cos\theta)-2\sin\theta)\cos\theta d\theta$$
对于第二部分，$x=2\cos\theta$，$y=2\sin\theta$，$dx=-2\sin\theta d\theta$，$dy=2\cos\theta d\theta$，代入积分式，得
$$I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}3(2\cos\theta)^{2}(2\sin\theta)(-2\sin\theta)d\theta+\int_{0}^{\pi/2}((2\cos\theta)^{3}+2\cos\theta-4\sin\theta)2\cos\theta d\theta$$
步骤 3：计算积分
计算$I_{1}$和$I_{2}$，得
$$I_{1}=\int_{\pi/2}^{0}(-3\sin^{2}\theta-6\sin^{3}\theta-3\sin^{4}\theta)d\theta+\int_{\pi/2}^{0}(\cos^{4}\theta+3\cos^{3}\theta+3\cos^{2}\theta+\cos\theta-2\sin\theta\cos\theta)d\theta$$
$$I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}(-48\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta)d\theta+\int_{0}^{\pi/2}(16\cos^{4}\theta+4\cos^{2}\theta-8\sin\theta\cos\theta)d\theta$$
计算积分，得
$$I_{1}=\frac{\pi}{2}-4$$
$$I_{2}=0$$
因此，曲线积分$I=I_{1}+I_{2}=\frac{\pi}{2}-4$。