13.计算二重积分.-|||-(1) iint dfrac ({x)^2-xy-(y)^2}({x)^2+(y)^2}dxdy 其中D是由直线 =1, =x, y=-x 围成的有界区域.

步骤 1：确定积分区域D
积分区域D是由直线 $y=1$, $y=x$, $y=-x$ 围成的有界区域。这个区域是一个等腰直角三角形，顶点在原点，底边在直线 $y=1$ 上，高为1。因此，积分区域D可以表示为：
$$
D = \{(x,y) | -1 \leq x \leq 1, |x| \leq y \leq 1\}
$$
步骤 2：将二重积分转换为极坐标形式
为了简化计算，将二重积分转换为极坐标形式。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$。因此，原二重积分可以表示为：
$$
\iint \dfrac {{x}^{2}-xy-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy = \iint \dfrac {{r}^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\cos\theta\sin\theta-{r}^{2}\sin^{2}\theta}{{r}^{2}}rdrd\theta
$$
步骤 3：计算二重积分
将二重积分转换为极坐标形式后，可以计算二重积分。首先，将被积函数简化为：
$$
\dfrac {{r}^{2}\cos^{2}\theta-r^{2}\cos\theta\sin\theta-{r}^{2}\sin^{2}\theta}{{r}^{2}} = \cos^{2}\theta-\cos\theta\sin\theta-\sin^{2}\theta
$$
然后，将二重积分表示为：
$$
\iint (\cos^{2}\theta-\cos\theta\sin\theta-\sin^{2}\theta)rdrd\theta
$$
积分区域D在极坐标系中可以表示为：
$$
D = \{(r,\theta) | 0 \leq r \leq \dfrac {1}{\sin\theta}, -\dfrac {\pi}{4} \leq \theta \leq \dfrac {\pi}{4}\}
$$
因此，二重积分可以表示为：
$$
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{\frac{1}{\sin\theta}} (\cos^{2}\theta-\cos\theta\sin\theta-\sin^{2}\theta)rdrd\theta
$$
计算内层积分：
$$
\int_{0}^{\frac{1}{\sin\theta}} (\cos^{2}\theta-\cos\theta\sin\theta-\sin^{2}\theta)rdr = \dfrac {1}{2}(\cos^{2}\theta-\cos\theta\sin\theta-\sin^{2}\theta)\dfrac {1}{\sin^{2}\theta}
$$
计算外层积分：
$$
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac {1}{2}(\cos^{2}\theta-\cos\theta\sin\theta-\sin^{2}\theta)\dfrac {1}{\sin^{2}\theta}d\theta = 1-\dfrac {\pi }{2}
$$