题目
一“无限大”平面,中部有一半径为R的圆孔,设平面上均匀带电,电荷面密度为.如图所示,试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零).
一“无限大”平面,中部有一半径为R的圆孔,设平面上均匀带电,电荷面密度为.如图所示,试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零).
题目解答
答案
解:将题中的电荷分布看作为面密度为的大平面和面密度为-的圆盘叠加的
结果.选x轴垂直于平面,坐标原点O在圆盘中心,大平面在x处产生的场强为
圆盘在该处的场强为
∴ 
该点电势为
解析
步骤 1：场强的计算
将题中的电荷分布看作为面密度为$\sigma$的大平面和面密度为$-\sigma$的圆盘叠加的结果。选x轴垂直于平面，坐标原点O在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为
${\overrightarrow {E}}_{1}=\dfrac {\sigma X}{2{\varepsilon }_{0}|X|}\overrightarrow {i}$
圆盘在该处的场强为
${\overrightarrow {E}}_{2}=\dfrac {-\sigma x}{2{\varepsilon }_{0}}(\dfrac {1}{|x|}-\dfrac {1}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}})$
步骤 2：叠加场强
∴ $\overrightarrow {E}=\overrightarrow {{E}_{1}}+\overrightarrow {{E}_{2}}=\dfrac {\sigma x}{2{\varepsilon }_{0}\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}}$
步骤 3：电势的计算
该点电势为
$V={\int }_{x}^{0}\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}\dfrac {xdx}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}}=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(R-\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}})$
将题中的电荷分布看作为面密度为$\sigma$的大平面和面密度为$-\sigma$的圆盘叠加的结果。选x轴垂直于平面，坐标原点O在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为
${\overrightarrow {E}}_{1}=\dfrac {\sigma X}{2{\varepsilon }_{0}|X|}\overrightarrow {i}$
圆盘在该处的场强为
${\overrightarrow {E}}_{2}=\dfrac {-\sigma x}{2{\varepsilon }_{0}}(\dfrac {1}{|x|}-\dfrac {1}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}})$
步骤 2：叠加场强
∴ $\overrightarrow {E}=\overrightarrow {{E}_{1}}+\overrightarrow {{E}_{2}}=\dfrac {\sigma x}{2{\varepsilon }_{0}\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}}$
步骤 3：电势的计算
该点电势为
$V={\int }_{x}^{0}\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}\dfrac {xdx}{\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}}}=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(R-\sqrt {{R}^{2}+{x}^{2}})$