题目
1.若_,则有 z=f(x,y) 可微.(-|||-A dfrac (partial z)(partial x),dfrac (partial z)(partial y) 存在且连续;-|||-B f(x2y)连续;-|||-C f(x2y)可偏导.-|||-D dfrac (partial z)(partial x),dfrac (partial z)(partial y) 存在;-|||-单选题(6.0分)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解可微的定义
函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，意味着在该点处，函数的增量 $\Delta z$ 可以表示为：
$$\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$
其中，$A$ 和 $B$ 分别是函数在该点处对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，且 $o(\rho)$ 是比 $\rho$ 更高阶的无穷小量。
步骤 2：分析选项
A. $\dfrac {\partial z}{\partial x},\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在且连续
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的偏导数 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在且连续，那么函数在该点可微。这是因为偏导数的连续性保证了函数在该点的线性近似是有效的。
B. $f(x^2,y)$ 连续
函数 $f(x^2,y)$ 的连续性与 $z=f(x,y)$ 的可微性没有直接关系。因此，这个选项不能保证 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。
C. $f(x,y)$ 可偏导
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可偏导，那么函数在该点的偏导数存在。但是，偏导数的存在并不一定保证函数在该点可微。因此，这个选项不能保证 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。
D. $\dfrac {\partial z}{\partial x},\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的偏导数 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在，那么函数在该点的偏导数存在。但是，偏导数的存在并不一定保证函数在该点可微。因此，这个选项不能保证 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。
函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，意味着在该点处，函数的增量 $\Delta z$ 可以表示为：
$$\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$
其中，$A$ 和 $B$ 分别是函数在该点处对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，且 $o(\rho)$ 是比 $\rho$ 更高阶的无穷小量。
步骤 2：分析选项
A. $\dfrac {\partial z}{\partial x},\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在且连续
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的偏导数 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在且连续，那么函数在该点可微。这是因为偏导数的连续性保证了函数在该点的线性近似是有效的。
B. $f(x^2,y)$ 连续
函数 $f(x^2,y)$ 的连续性与 $z=f(x,y)$ 的可微性没有直接关系。因此，这个选项不能保证 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。
C. $f(x,y)$ 可偏导
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可偏导，那么函数在该点的偏导数存在。但是，偏导数的存在并不一定保证函数在该点可微。因此，这个选项不能保证 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。
D. $\dfrac {\partial z}{\partial x},\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在
如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的偏导数 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 存在，那么函数在该点的偏导数存在。但是，偏导数的存在并不一定保证函数在该点可微。因此，这个选项不能保证 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微。