题目
10.[判断题]如果函数u=u(x,y)在点(x,y)处具有对x及对y的偏导数，函数v=v(y)在点y处可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f[u(x,y),v(y)]在对应点(x,y)处的两个偏导数都存在，且有(partial z)/(partial x)=(partial z)/(partial u)cdot(partial u)/(partial x)我的答案：错正确答案：对得分：0.0分
10.[判断题]如果函数u=u(x,y)在点(x,y)处具有对x及对y的偏导数，函数v=v(y)在点y处可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f[u(x,y),v(y)]在对应点(x,y)处的两个偏导数都存在，且有$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$
我的答案：错
正确答案：对
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题目解答
答案
为了确定复合函数 $ z = f[u(x,y), v(y)] $ 在点 $(x,y)$ 处的偏导数是否存在，以及给定的公式是否正确，我们需要使用链式法则进行偏导数的计算。
给定的函数是：
- $ u = u(x, y) $ 在点 $(x, y)$ 处对 $ x $ 和 $ y $ 有偏导数。
- $ v = v(y) $ 在点 $ y $ 处可导。
- $ z = f(u, v) $ 在对应点 $(u, v)$ 处具有连续偏导数。
我们需要找到 $ z $ 关于 $ x $ 的偏导数。根据链式法则，复合函数 $ z = f[u(x,y), v(y)] $ 关于 $ x $ 的偏导数为：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
\]
由于 $ v $ 仅是 $ y $ 的函数，$ v $ 关于 $ x $ 的偏导数为零：
\[
\frac{\partial v}{\partial x} = 0
\]
因此，$ z $ 关于 $ x $ 的偏导数简化为：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 0 = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}
\]
由于 $ \frac{\partial f}{\partial u} $ 是 $ f $ 关于 $ u $ 的偏导数，而 $ \frac{\partial u}{\partial x} $ 是 $ u $ 关于 $ x $ 的偏导数，这两个偏导数都存在，因此 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 存在，且由以下公式给出：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}
\]
因此，正确答案是：
\[
\boxed{\text{对}}
\]
解析
步骤 1：理解复合函数的偏导数
复合函数 $z = f[u(x,y), v(y)]$ 的偏导数可以通过链式法则来计算。链式法则允许我们通过分解函数的各个部分来计算复合函数的导数。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，复合函数 $z = f[u(x,y), v(y)]$ 关于 $x$ 的偏导数为：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \]
由于 $v$ 仅是 $y$ 的函数，$v$ 关于 $x$ 的偏导数为零：
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \]
因此，$z$ 关于 $x$ 的偏导数简化为：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 0 = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \]
步骤 3：验证偏导数的存在性
由于 $u = u(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处对 $x$ 和 $y$ 有偏导数，$v = v(y)$ 在点 $y$ 处可导，$z = f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处具有连续偏导数，因此 $z$ 关于 $x$ 的偏导数存在，且由以下公式给出：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \]
复合函数 $z = f[u(x,y), v(y)]$ 的偏导数可以通过链式法则来计算。链式法则允许我们通过分解函数的各个部分来计算复合函数的导数。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，复合函数 $z = f[u(x,y), v(y)]$ 关于 $x$ 的偏导数为：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \]
由于 $v$ 仅是 $y$ 的函数，$v$ 关于 $x$ 的偏导数为零：
\[ \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \]
因此，$z$ 关于 $x$ 的偏导数简化为：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot 0 = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \]
步骤 3：验证偏导数的存在性
由于 $u = u(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处对 $x$ 和 $y$ 有偏导数，$v = v(y)$ 在点 $y$ 处可导，$z = f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处具有连续偏导数，因此 $z$ 关于 $x$ 的偏导数存在，且由以下公式给出：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \]