题目

在区间(0,1)中随机地选取两点，分别记为X和Y，求|X-Y|leqslant(1)/(2)的概率

在区间(0,1)中随机地选取两点，分别记为X和Y，求$|X-Y|\leqslant\frac{1}{2}$的概率

题目解答

答案

在单位正方形（面积为1）中，满足 $|X - Y| \leq \frac{1}{2}$ 的区域由直线 $Y = X + \frac{1}{2}$ 和 $Y = X - \frac{1}{2}$ 界定。该区域面积可计算为正方形面积减去两角三角形面积（每个边长为 $\frac{1}{2}$，面积为 $\frac{1}{8}$），即： \[ 1 - 2 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4} \] 因此，所求概率为 $\boxed{\frac{3}{4}}$。

解析

本题考查几何概型的知识，解题思路是通过建立平面直角坐标系，将随机选取两点的问题转化为在单位正方形区域内的问题，然后找出满足条件的区域，计算该区域的面积，最后根据几何概型的概率公式计算概率。

  1. 建立平面直角坐标系：
    设随机选取的两点分别为 $X$ 和 $在区间 \((0,1)$ 上的随机变量 $Y$。以 $X$ 为横坐标，$Y$ 为纵坐标建立平面直角坐标系。
    由于 $X$ 和 $Y$ 都在区间 $(0,1)$ 内，所以所有可能的点 $(X,Y)$ 构成的区域是一个边长为 $1$ 的单位正方形，其面积 $S = 1\times1 = 1$。

  2. 找出满足条件的区域：
    已知条件为 $|X - Y| \leq \frac{1}{2}$，可将其拆分为两个不等式：
    $\begin{cases}X - Y \leq \frac{1}{2}\\-(X - Y) \leq \frac{1}{2}\end{cases}$，即 $\begin{cases}Y \geq X - \frac{1}{2}\\Y \leq X + \frac{1}{2}\end{cases}$。
    这表示满足条件的点 $(X,Y)$ 位于由直线 $Y = X - \frac{1}{2}$ 和 $Y = X + \frac{1}{2}$ 所界定的区域内。

  3. 计算满足条件的区域的面积：
    单位正方形中不满足 $|X - Y| \leq \frac{1}{2}$ 的区域是两个直角三角形。
    这两个直角三角形的直角边长度都为 $\frac{1}{2}$。
    根据三角形面积公式 $S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah$（其中 $a$ 为底边长，$h$ 为高），可得每个三角形的面积为 $\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。
    那么两个三角形的面积之和为 $2\times\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$。
    所以满足 $|X - Y| \leq \frac{1}{2}$ 的区域的面积为 $S_{满足}=1 - \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。

  4. 根据几何概型的概率公式计算概率：
    几何概型的概率公式为 $P=\frac{S_{满足}}{S}$（其中 $S_{满足}$ 为满足条件的区域的面积，$S$ 为总的区域的面积）。
    已知 $S_{满足}=\frac{3}{4}$，$S = 1$，所以 $P=\frac{\frac{3}{4}}{1}=\frac{3}{4}$。