题目
六、设当 geqslant 0 时,函数f(x)满足微分方程 '(x)-3f(x)=-6(x)^2, 且由曲线 =f(x),-|||-直线 x=1 与x轴围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为最小,求f(x)的表-|||-达式及平面图形D的面积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解微分方程
给定微分方程为 $xf'(x)-3f(x)=-6{x}^{2}$。这是一个一阶线性非齐次微分方程。首先，我们求解对应的齐次方程 $xf'(x)-3f(x)=0$。通过分离变量法，我们得到 $f(x)=C{x}^{3}$，其中C为常数。然后，我们使用常数变易法求解非齐次方程。设 $f(x)=u(x){x}^{3}$，代入原方程，得到 $u'(x)=-6x$。积分得到 $u(x)=-3{x}^{2}+C$。因此，$f(x)=6{x}^{2}+C{x}^{3}$。
步骤 2：确定常数C
由题意，旋转体的体积最小。旋转体的体积 $V={\int }_{0}^{1}\pi {(6{x}^{2}+C{x}^{3})}^{2}dx$。对C求导，得到 $\dfrac {dV}{dC}=\pi (2+\dfrac {2C}{7})$。令 $\dfrac {dV}{dC}=0$，解得 $C=-7$。
步骤 3：计算平面图形D的面积
将C=-7代入 $f(x)=6{x}^{2}+C{x}^{3}$，得到 $f(x)=6{x}^{2}-7{x}^{3}$。平面图形D的面积 $S={\int }_{0}^{1}|6{x}^{2}-7{x}^{3}|dx$。计算积分得到 $S=\dfrac {521}{1372}$。
给定微分方程为 $xf'(x)-3f(x)=-6{x}^{2}$。这是一个一阶线性非齐次微分方程。首先，我们求解对应的齐次方程 $xf'(x)-3f(x)=0$。通过分离变量法，我们得到 $f(x)=C{x}^{3}$，其中C为常数。然后，我们使用常数变易法求解非齐次方程。设 $f(x)=u(x){x}^{3}$，代入原方程，得到 $u'(x)=-6x$。积分得到 $u(x)=-3{x}^{2}+C$。因此，$f(x)=6{x}^{2}+C{x}^{3}$。
步骤 2：确定常数C
由题意，旋转体的体积最小。旋转体的体积 $V={\int }_{0}^{1}\pi {(6{x}^{2}+C{x}^{3})}^{2}dx$。对C求导，得到 $\dfrac {dV}{dC}=\pi (2+\dfrac {2C}{7})$。令 $\dfrac {dV}{dC}=0$，解得 $C=-7$。
步骤 3：计算平面图形D的面积
将C=-7代入 $f(x)=6{x}^{2}+C{x}^{3}$，得到 $f(x)=6{x}^{2}-7{x}^{3}$。平面图形D的面积 $S={\int }_{0}^{1}|6{x}^{2}-7{x}^{3}|dx$。计算积分得到 $S=\dfrac {521}{1372}$。