题目
假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,并且对[0,1 ]上任一点x有 leqslant f(x)leqslant 1. 试-|||-证明[0,1]中必存在一点 c,使得 f(c)=c (c称为函数f(x )的不动点).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - x$，其中 $f(x)$ 是在闭区间 $[0,1]$ 上连续的函数，且满足 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 对于所有 $x \in [0,1]$。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值：
- $F(0) = f(0) - 0 = f(0)$
- $F(1) = f(1) - 1$
步骤 3：分析 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的符号
- 由于 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$，所以 $F(0) = f(0) \geqslant 0$。
- 同样，$F(1) = f(1) - 1 \leqslant 0$。
步骤 4：应用零点定理
- 如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则 $0$ 或 $1$ 就是 $f(x)$ 的不动点。
- 如果 $F(0) > 0$ 且 $F(1) < 0$，则根据零点定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $F(c) = 0$，即 $f(c) = c$。
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - x$，其中 $f(x)$ 是在闭区间 $[0,1]$ 上连续的函数，且满足 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 对于所有 $x \in [0,1]$。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值：
- $F(0) = f(0) - 0 = f(0)$
- $F(1) = f(1) - 1$
步骤 3：分析 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的符号
- 由于 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$，所以 $F(0) = f(0) \geqslant 0$。
- 同样，$F(1) = f(1) - 1 \leqslant 0$。
步骤 4：应用零点定理
- 如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则 $0$ 或 $1$ 就是 $f(x)$ 的不动点。
- 如果 $F(0) > 0$ 且 $F(1) < 0$，则根据零点定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $F(c) = 0$，即 $f(c) = c$。