一质量m = 0.25 kg的物体,在弹簧的力作用下沿x轴运动,平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N·m-1。(1) 求振动的周期T和角频率。(2) 如果振幅A =15 cm,t = 0时物体位于x = 7.5 cm处,且物体沿x轴反向运动,求初速v0及初相。(3) 写出振动的数值表达式。

考查要点：本题主要考查简谐运动的基本公式应用，包括周期、角频率的计算，初速度和初相的确定，以及振动方程的建立。

解题思路：

1. 周期与角频率：直接利用公式 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ 和 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ 计算。
2. 初速度与初相：通过简谐运动的位移公式 $x = A\cos(\omega t + \phi)$ 和速度公式 $v = -A\omega \sin(\omega t + \phi)$，结合初始条件确定初相 $\phi$，再利用能量关系或速度公式求初速度。
3. 振动方程：将已知参数代入简谐运动的标准表达式即可。

关键点：

• 角频率公式 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ 是核心。
• 初相的确定需结合初始位移和速度方向，通过三角函数关系求解。
• 单位统一：注意将厘米转换为米。

第（1）题

计算角频率

根据公式 $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$，代入 $k = 25 \, \text{N/m}$ 和 $m = 0.25 \, \text{kg}$：
$\omega = \sqrt{\dfrac{25}{0.25}} = \sqrt{100} = 10 \, \text{rad/s}.$

计算周期

周期公式为 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$，代入 $\omega = 10 \, \text{rad/s}$：
$T = \dfrac{2\pi}{10} = 0.628 \, \text{s} \approx 0.63 \, \text{s}.$

第（2）题

确定初相

初始时刻 $t = 0$，位移 $x_0 = 7.5 \, \text{cm} = 0.075 \, \text{m}$，代入位移公式：
$x_0 = A\cos\phi \implies 0.075 = 0.15 \cos\phi \implies \cos\phi = 0.5.$
解得 $\phi = \dfrac{\pi}{3}$ 或 $\dfrac{5\pi}{3}$。
由于物体向反方向运动（速度为负），由速度公式：
$v_0 = -A\omega \sin\phi < 0 \implies \sin\phi > 0.$
因此 $\phi = \dfrac{\pi}{3}$。

计算初速度

利用能量关系 $A^2 = x_0^2 + \left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2$，代入已知值：
$0.15^2 = 0.075^2 + \left(\dfrac{v_0}{10}\right)^2 \implies v_0 = -10 \sqrt{0.15^2 - 0.075^2} \approx -1.3 \, \text{m/s}.$

第（3）题

将参数代入简谐运动的标准表达式：
$x = A\cos(\omega t + \phi) = 0.15 \cos(10t + \dfrac{\pi}{3}) \, \text{m}.$