设 D_1 是正方形域，D_2 是 D_1 的内切圆，D_3 是 D_1 的外接圆，D_1 的中心点在 (-1,1) 处，记 I_1 = iint_(D_1) e^2y-x^2-y^2-2x , dx , dy；I_2 = iint_(D_2) e^2y-x^2-y^2-2x , dx , dy；I_3 = iint_(D_3) e^2y-x^2-y^2-2x , dx , dy。则 I_1, I_2, I_3 大小顺序为(）。A. I_3 leq I_2 leq I_1B. I_2 leq I_1 leq I_3C. I_3 leq I_1 leq I_2D. I_1 leq I_2 leq I_3

考查要点：本题主要考查二重积分的比较，涉及被积函数的性质、积分区域的包含关系以及函数值分布对积分结果的影响。

解题核心思路：

1. 被积函数变形：通过配方将指数部分转化为以中心点$(-1,1)$为中心的高斯型函数，明确函数值随距离中心点的变化规律。
2. 区域关系分析：确定$D_2 \subset D_1 \subset D_3$的包含关系。
3. 积分值比较：结合函数值在区域内的分布（中心高、边缘低）和区域面积，判断积分值的大小顺序。

破题关键点：

• 函数特性：被积函数在中心点附近最大，向外递减。
• 区域面积与覆盖范围：外接圆覆盖范围最大，但边缘函数值最低；内切圆覆盖范围最小，但函数值最高。

步骤1：被积函数变形

将指数部分配方：
$\begin{aligned}2y - x^2 - y^2 - 2x &= -(x^2 + 2x) - (y^2 - 2y) \\&= -\left[(x+1)^2 - 1\right] - \left[(y-1)^2 - 1\right] \\&= - (x+1)^2 - (y-1)^2 + 2.\end{aligned}$
因此，被积函数可写为：
$e^{2y - x^2 - y^2 - 2x} = e^2 \cdot e^{-(x+1)^2 - (y-1)^2}.$

步骤2：区域关系分析

• $D_2$（内切圆）：以$(-1,1)$为中心，半径为正方形边长的一半。
• $D_1$（正方形）：以$(-1,1)$为中心，边长为$2r$。
• $D_3$（外接圆）：以$(-1,1)$为中心，半径为正方形的对角线长度的一半，即$\sqrt{2}r$。
  因此，区域包含关系为：$D_2 \subset D_1 \subset D_3$。

步骤3：积分值比较

• 函数值分布：被积函数在中心点$(-1,1)$处最大，向外呈高斯型衰减。
• 积分值与区域的关系：
  • $I_2$：积分区域$D_2$覆盖中心高值区，但面积最小。
  • $I_1$：积分区域$D_1$覆盖$D_2$外的中等值区，面积更大。
  • $I_3$：积分区域$D_3$覆盖$D_1$外的低值区，面积最大。
• 结论：虽然外接圆$D_3$面积最大，但新增区域的函数值较低；而内切圆$D_2$面积最小，但函数值最高。综合来看，积分值随区域面积增大而递增，即$I_2 \leq I_1 \leq I_3$。