题目

9.设 D= |} 3& 1& -1& 2 -5& 1& 3& -4 2& 0& 1& -1 1& -5& 3& -3 -

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查代数余子式的性质及行列式的展开方法，需要灵活运用行列式的行变换和展开技巧简化计算。

解题核心思路：

  1. 代数余子式的线性组合：将表达式 $A_{31} + 3A_{32} - 2A_{33} + 2A_{34}$ 理解为将原行列式的第3行替换为系数向量 $(1, 3, -2, 2)$ 后的新行列式值。
  2. 行变换简化行列式：通过行变换构造零元素，降低计算复杂度。
  3. 展开与化简：利用行列式的展开定理，结合提取公因子、行变换等操作逐步化简。

破题关键点：

  • 构造新行列式：根据代数余子式的线性组合定义，构造新行列式。
  • 行变换策略：通过行加减消去元素，简化行列式结构。
  • 分步展开：优先展开含零元素的行或列，减少计算量。

构造新行列式

根据代数余子式的展开定理，表达式 $A_{31} + 3A_{32} - 2A_{33} + 2A_{34}$ 等价于将原行列式的第3行替换为 $(1, 3, -2, 2)$，得到新行列式：
$\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2 \\-5 & 1 & 3 & -4 \\1 & 3 & -2 & 2 \\1 & -5 & 3 & -3\end{vmatrix}$

行变换简化行列式

  1. 第4行加第3行的 $\frac{3}{2}$ 倍：
    $r_4 \leftarrow r_4 + \frac{3}{2}r_3$
    变换后第4行变为 $(0, 0, 0, 2)$，行列式值不变。

  2. 提取公因子：
    第4行最后一列为 $2$，提取公因子 $\frac{1}{2}$，行列式变为：
    $\frac{1}{2} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

  3. 按第4行展开：
    仅第4行第4列元素为 $1$，展开后行列式简化为：
    $\frac{1}{2} \cdot (-1)^{4+4} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -5 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$

化简三阶行列式

  1. 行变换消元：
    第3行加第1行的 $(-2)$ 倍，第2行加第1行的 $5$ 倍，得到：
    $\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 0 & 6 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

  2. 按第3列展开：
    仅第3列第2行元素为 $2$，展开后行列式简化为：
    $2 \cdot (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2 \cdot (3 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -6$

最终计算

将各步骤结果代入，最终值为：
$\frac{1}{2} \cdot (-6) = -3 \quad \Rightarrow \quad \text{原式} = (-8) \cdot (-3) = 24$