4.单选题设f(x)=}1&x>00&x=02&xA. 不存在，xin(-infty,+infty)B. 存在且为连续函数，xin(-infty,+infty)C. 等于0，xin(-infty,+infty)D. 等于0，xin(-infty,0)cup(0,+infty)

考查要点：本题主要考查分段函数在不同区间的可导性及导数的计算，特别是分段点处的导数是否存在。

解题核心思路：

1. 分段区间内部求导：在$x>0$和$x<0$的区间内，函数为常数函数，导数显然为0。
2. 分段点$x=0$处的导数：需分别计算左导数和右导数，判断是否存在且相等。若不存在，则该点不可导。

破题关键点：

• 常数函数的导数为0，因此$x>0$和$x<0$时导数直接得出。
• 分段点$x=0$处的左右导数计算：通过极限定义判断是否存在有限值，若不存在则导数不存在。

分段区间内部求导

1. 当$x>0$时，$f(x)=1$为常数函数，导数为：
   $f'(x) = 0$
2. 当$x<0$时，$f(x)=2$为常数函数，导数为：
   $f'(x) = 0$

分段点$x=0$处的导数

1. 左导数（从左侧趋近于0）：
   $f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2}{h}$
   当$h$从负方向趋近于0时，$\frac{2}{h} \to -\infty$，左导数不存在。

2. 右导数（从右侧趋近于0）：
   $f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{h}$
   当$h$从正方向趋近于0时，$\frac{1}{h} \to +\infty$，右导数不存在。

结论：由于左右导数均不存在，$f(x)$在$x=0$处不可导。