题目
6.设x^2+2y^2+z^2=1，则.(partial z)/(partial x)|_(((1)/(2),(1)/(2),(1)/(2)))=____.
6.设$x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$，则$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})}=$____.
题目解答
答案
为了找到函数 $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 处的 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}$，我们将使用隐函数求导法。以下是解题步骤：
1. **对等式 $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$ 关于 $x$ 求偏导数：**
\[
\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y^2 + z^2) = \frac{\partial}{\partial x}(1)
\]
等式的右边是 0，因为 1 是一个常数。等式的左边需要使用链式法则对 $z^2$ 求偏导数：
\[
\frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial x}(2y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(z^2) = 2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x}
\]
所以，我们有：
\[
2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0
\]
2. **解出 $\frac{\partial z}{\partial x}$：**
\[
2z \frac{\partial z}{\partial x} = -2x
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}
\]
3. **在点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 处评估 $\frac{\partial z}{\partial x}$：**
\[
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{-1}
\]
解析
本题考查隐函数求偏导数的知识点。解题思路是先对给定的方程$x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$关于$x$求偏导数，在求导过程中把$y$看作常数，$z$看作是关于$x$和$y$的函数，然后利用链式法则对$z^2$求偏导。接着通过移项和化简求出$\frac{\partial z}{\partial x}$的表达式，最后将给定的点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$代入表达式中计算出结果。
- 对等式$x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1$关于$x$求偏导数：
根据求导的加法法则$\frac{\partial}{\partial x}(u + v+w)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial x}$，对等式左边求偏导：- 对于$\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})$，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial x}(2y^{2})$，因为$y$看作常数，所以$2y^{2}$也是常数，常数的导数为$0$，即$\frac{\partial}{\partial x}(2y^{2}) = 0$。
- 对于$\frac{\partial}{\partial x}(z^{2})$，根据链式法则，令$u = z$，则$\frac{\partial}{\partial x}(z^{2})=\frac{\partial (u^{2})}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=2z\cdot\frac{\partial z}{\partial x}$。
等式右边$\frac{\partial}{\partial x}(1)=0$，所以有$2x + 0+2z\frac{\partial z}{\partial x}=0$，即$2x + 2z\frac{\partial z}{\partial x}=0$。
- 解出$\frac{\partial z}{\partial x}$：
对$2x + 2z\frac{\partial z}{\partial x}=0$进行移项可得$2z\frac{\partial z}{\partial x}=-2x$，两边同时除以$2z$（$z\neq0$），得到$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}$。 - 在点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$处评估$\frac{\partial z}{\partial x}$：
将$x = \frac{1}{2}$，$z=\frac{1}{2}$代入$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}$中，可得$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})}=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=-1$。