题目
1.已知 a=(1,1,0) ,b=(1,0,1) ,求-|||-(1)a与b的方向余弦:-|||-(2)a与b的夹角;-|||-(3)以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线长及面积;-|||-(4)同时垂直于a与b的单位向量。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算向量a和b的方向余弦
向量a的方向余弦为：
$\cos {\alpha }_{1}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
$\cos {\beta }_{1}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
$\cos {\gamma }_{1}=\dfrac {0}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}}=0$
向量b的方向余弦为：
$\cos {\alpha }_{2}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+0^2+1^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
$\cos {\beta }_{2}=\dfrac {0}{\sqrt {1^2+0^2+1^2}}=0$
$\cos {\gamma }_{2}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+0^2+1^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
步骤 2：计算向量a与b的夹角
向量a与b的夹角$\theta$可以通过点积公式计算：
$\cos \theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1$
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{\pi}{3}$
步骤 3：计算以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线长及面积
对角线长可以通过向量加法和减法计算：
$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (1+1, 1+0, 0+1) = (2, 1, 1)$
$\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$
对角线长为：
$|\vec{d_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$
$|\vec{d_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
平行四边形面积可以通过向量叉积计算：
$\vec{a} \times \vec{b} = (1 \times 1 - 0 \times 1, 0 \times 1 - 1 \times 1, 1 \times 0 - 1 \times 1) = (1, -1, -1)$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$
平行四边形面积为：
$S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}$
步骤 4：计算同时垂直于a与b的单位向量
同时垂直于a与b的单位向量可以通过向量叉积计算：
$\vec{n} = \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \dfrac{(1, -1, -1)}{\sqrt{3}} = (\dfrac{\sqrt{3}}{3}, -\dfrac{\sqrt{3}}{3}, -\dfrac{\sqrt{3}}{3})$
向量a的方向余弦为：
$\cos {\alpha }_{1}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
$\cos {\beta }_{1}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
$\cos {\gamma }_{1}=\dfrac {0}{\sqrt {1^2+1^2+0^2}}=0$
向量b的方向余弦为：
$\cos {\alpha }_{2}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+0^2+1^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
$\cos {\beta }_{2}=\dfrac {0}{\sqrt {1^2+0^2+1^2}}=0$
$\cos {\gamma }_{2}=\dfrac {1}{\sqrt {1^2+0^2+1^2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$
步骤 2：计算向量a与b的夹角
向量a与b的夹角$\theta$可以通过点积公式计算：
$\cos \theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1$
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{\pi}{3}$
步骤 3：计算以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线长及面积
对角线长可以通过向量加法和减法计算：
$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (1+1, 1+0, 0+1) = (2, 1, 1)$
$\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$
对角线长为：
$|\vec{d_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$
$|\vec{d_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
平行四边形面积可以通过向量叉积计算：
$\vec{a} \times \vec{b} = (1 \times 1 - 0 \times 1, 0 \times 1 - 1 \times 1, 1 \times 0 - 1 \times 1) = (1, -1, -1)$
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$
平行四边形面积为：
$S = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}$
步骤 4：计算同时垂直于a与b的单位向量
同时垂直于a与b的单位向量可以通过向量叉积计算：
$\vec{n} = \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \dfrac{(1, -1, -1)}{\sqrt{3}} = (\dfrac{\sqrt{3}}{3}, -\dfrac{\sqrt{3}}{3}, -\dfrac{\sqrt{3}}{3})$