题目

35.(填空题，1.1分)设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，则P(2≤X≤4)=____.

35.(填空题，1.1分) 设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，则P(2≤X≤4)=____.

题目解答

答案

随机变量 $X$ 服从 $[1, 5]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{5-1} = \frac{1}{4}$（$1 \leq x \leq 5$）。 计算 $P(2 \leq X \leq 4)$： \[ P(2 \leq X \leq 4) = \int_{2}^{4} \frac{1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \times (4-2) = \frac{1}{2} \] 或者，利用均匀分布的性质： \[ P(2 \leq X \leq 4) = \frac{4-2}{5-1} = \frac{1}{2} \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

均匀分布是概率论中的基本概念，其核心特点是概率密度函数在区间内为常数。本题中，随机变量$X$服从区间$[1,5]$上的均匀分布，因此其概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{5-1} = \frac{1}{4}$。计算概率时，只需利用区间长度的比例即可快速求解，无需复杂计算。

关键步骤：

  1. 确定均匀分布的区间长度：总区间长度为$5 - 1 = 4$。
  2. 计算目标区间的长度：$4 - 2 = 2$。
  3. 求概率：概率等于目标区间长度与总区间长度的比值，即$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。