在R4中取两个基： ) (e)_(1)=((1,0,0,0))^T (e)_(2)=((0,1,0,0))^T (e)_(3)=((0,0,1,0))^T (e)_(4)=((0,0,0,1))^T^{T . (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； (2)求向量(x1，x2，x3，x4)在后一个基下的坐标； (3)求在两个基下有相同坐标的向量．

(1)显然有 (α₁α₂α₃)=(e₁e₂e₃)所求过渡矩阵为(2)设向量在基{α_i}下的坐标为(x₁’x₂’x₃’x₄’)^T则由坐标变换公式有(3)设向量y在两个基下有相同的坐标(y₁y₂y₃y₄)^T由坐标变换公式并仍记坐标向量(y₁y₂y₃y₄)^T为y则y=P^-1y即(P一E)y=0．易求得此齐次线性方程组系数矩阵的秩R(P—E)=2从而解空间的维数等于l且以ξ=(111一1)^T为它的一个基础解系．故所求向量为kk为任意常数．
(1)显然有(α1,α2,α3)=(e1,e2,e3)所求过渡矩阵为(2)设向量在基{αi}下的坐标为(x1’,x2’,x3’,x4’)T,则由坐标变换公式,有(3)设向量y在两个基下有相同的坐标(y1,y2,y3,y4)T,由坐标变换公式,并仍记坐标向量(y1,y2,y3,y4)T为y,则y=P-1y,即(P一E)y=0．易求得此齐次线性方程组系数矩阵的秩R(P—E)=2,从而解空间的维数等于l,且以ξ=(1,1,1,一1)T为它的一个基础解系．故所求向量为k,k为任意常数．