题目
7.设 (x,y)=dfrac (1)(xy),r=sqrt ({x)^2+(y)^2} _(1)= (x,y)|(x,y)in {R)^2 dfrac (1)(k)xleqslant yleqslant kx gt 1 为常数},-|||-_(2)= (x,y)|(x,y)in {R)^2,xgt 0,ygt 0} -|||-(1) lim f(x,y)是否存在?为什么?-|||- x,y in D-|||-(2) lim f(x,y)是否存在?为什么?-|||-(x,y)in (D)_(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析 $D_1$ 区域
$D_1$ 区域由两条直线 $y = \frac{1}{k}x$ 和 $y = kx$ 以及 $x > 0$ 和 $y > 0$ 定义。在该区域内，$x$ 和 $y$ 都是正数，且 $y$ 的值在 $\frac{1}{k}x$ 和 $kx$ 之间。因此，$xy$ 的值在 $\frac{1}{k}x^2$ 和 $kx^2$ 之间。当 $(x,y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，$xy$ 趋近于 $0$，因此 $f(x,y) = \frac{1}{xy}$ 趋近于无穷大。因此，$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 在 $D_1$ 区域内存在，且为无穷大。
步骤 2：分析 $D_2$ 区域
$D_2$ 区域由 $x > 0$ 和 $y > 0$ 定义。在该区域内，$x$ 和 $y$ 都是正数。当 $(x,y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，$xy$ 趋近于 $0$，因此 $f(x,y) = \frac{1}{xy}$ 趋近于无穷大。但是，由于没有限制 $y$ 的值，$xy$ 可以趋近于 $0$ 的速度不同，因此 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 在 $D_2$ 区域内不存在。
$D_1$ 区域由两条直线 $y = \frac{1}{k}x$ 和 $y = kx$ 以及 $x > 0$ 和 $y > 0$ 定义。在该区域内，$x$ 和 $y$ 都是正数，且 $y$ 的值在 $\frac{1}{k}x$ 和 $kx$ 之间。因此，$xy$ 的值在 $\frac{1}{k}x^2$ 和 $kx^2$ 之间。当 $(x,y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，$xy$ 趋近于 $0$，因此 $f(x,y) = \frac{1}{xy}$ 趋近于无穷大。因此，$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 在 $D_1$ 区域内存在，且为无穷大。
步骤 2：分析 $D_2$ 区域
$D_2$ 区域由 $x > 0$ 和 $y > 0$ 定义。在该区域内，$x$ 和 $y$ 都是正数。当 $(x,y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，$xy$ 趋近于 $0$，因此 $f(x,y) = \frac{1}{xy}$ 趋近于无穷大。但是，由于没有限制 $y$ 的值，$xy$ 可以趋近于 $0$ 的速度不同，因此 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 在 $D_2$ 区域内不存在。