题目
8. 指出下列函数在零点z=0的阶:(1) z^2(e^z^(2)-1); (2) 6sin z^3+z^3(z^6-6).
8. 指出下列函数在零点z=0的阶:
(1) $z^{2}(e^{z^{2}}-1)$; (2) $6\sin z^{3}+z^{3}(z^{6}-6)$.
题目解答
答案
1. **函数 $z^2(e^{z^2} - 1)$**
泰勒展开：
\[
e^{z^2} - 1 = z^2 + \frac{z^4}{2!} + \frac{z^6}{3!} + \cdots
\]
乘以 $z^2$ 得：
\[
z^2(e^{z^2} - 1) = z^4 + \frac{z^6}{2!} + \frac{z^8}{3!} + \cdots = z^4 \varphi(z)
\]
其中 $\varphi(z)$ 在 $z=0$ 处解析且 $\varphi(0) = 1 \neq 0$，故零点阶数为 $\boxed{4}$。
2. **函数 $6\sin z^3 + z^3(z^6 - 6)$**
泰勒展开：
\[
6\sin z^3 = 6z^3 - z^9 + \frac{6z^{15}}{5!} - \cdots
\]
加上 $z^3(z^6 - 6)$：
\[
6\sin z^3 + z^3(z^6 - 6) = \frac{6z^{15}}{5!} - \frac{6z^{21}}{7!} + \cdots = z^{15} \psi(z)
\]
其中 $\psi(z)$ 在 $z=0$ 处解析且 $\psi(0) = \frac{6}{5!} \neq 0$，故零点阶数为 $\boxed{15}$。
解析
步骤 1：函数 $z^2(e^{z^2} - 1)$ 的泰勒展开
函数 $e^{z^2}$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开为：\[ e^{z^2} = 1 + z^2 + \frac{z^4}{2!} + \frac{z^6}{3!} + \cdots \] 因此，$e^{z^2} - 1$ 的泰勒展开为：\[ e^{z^2} - 1 = z^2 + \frac{z^4}{2!} + \frac{z^6}{3!} + \cdots \] 乘以 $z^2$ 得：\[ z^2(e^{z^2} - 1) = z^4 + \frac{z^6}{2!} + \frac{z^8}{3!} + \cdots = z^4 \varphi(z) \] 其中 $\varphi(z)$ 在 $z=0$ 处解析且 $\varphi(0) = 1 \neq 0$，故零点阶数为 $4$。
步骤 2：函数 $6\sin z^3 + z^3(z^6 - 6)$ 的泰勒展开
函数 $\sin z^3$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开为：\[ \sin z^3 = z^3 - \frac{z^9}{3!} + \frac{z^{15}}{5!} - \cdots \] 因此，$6\sin z^3$ 的泰勒展开为：\[ 6\sin z^3 = 6z^3 - z^9 + \frac{6z^{15}}{5!} - \cdots \] 加上 $z^3(z^6 - 6)$：\[ 6\sin z^3 + z^3(z^6 - 6) = \frac{6z^{15}}{5!} - \frac{6z^{21}}{7!} + \cdots = z^{15} \psi(z) \] 其中 $\psi(z)$ 在 $z=0$ 处解析且 $\psi(0) = \frac{6}{5!} \neq 0$，故零点阶数为 $15$。
函数 $e^{z^2}$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开为：\[ e^{z^2} = 1 + z^2 + \frac{z^4}{2!} + \frac{z^6}{3!} + \cdots \] 因此，$e^{z^2} - 1$ 的泰勒展开为：\[ e^{z^2} - 1 = z^2 + \frac{z^4}{2!} + \frac{z^6}{3!} + \cdots \] 乘以 $z^2$ 得：\[ z^2(e^{z^2} - 1) = z^4 + \frac{z^6}{2!} + \frac{z^8}{3!} + \cdots = z^4 \varphi(z) \] 其中 $\varphi(z)$ 在 $z=0$ 处解析且 $\varphi(0) = 1 \neq 0$，故零点阶数为 $4$。
步骤 2：函数 $6\sin z^3 + z^3(z^6 - 6)$ 的泰勒展开
函数 $\sin z^3$ 在 $z=0$ 处的泰勒展开为：\[ \sin z^3 = z^3 - \frac{z^9}{3!} + \frac{z^{15}}{5!} - \cdots \] 因此，$6\sin z^3$ 的泰勒展开为：\[ 6\sin z^3 = 6z^3 - z^9 + \frac{6z^{15}}{5!} - \cdots \] 加上 $z^3(z^6 - 6)$：\[ 6\sin z^3 + z^3(z^6 - 6) = \frac{6z^{15}}{5!} - \frac{6z^{21}}{7!} + \cdots = z^{15} \psi(z) \] 其中 $\psi(z)$ 在 $z=0$ 处解析且 $\psi(0) = \frac{6}{5!} \neq 0$，故零点阶数为 $15$。