题目

5.[判断题](A-B)cup B=A.()我的答案：错正确答案：错

5.[判断题]$(A-B)\cup B=A.()$ 我的答案：错 正确答案：错

题目解答

答案

### 问题解析 题目要求判断以下命题是否正确： \[ (A - B) \cup B = A \] 首先，我们需要理解集合运算的含义： 1. **集合差**：$A - B$ 表示集合 $A$ 中去掉集合 $B$ 中的元素后剩下的部分。 2. **集合并**：$A \cup B$ 表示集合 $A$ 和集合 $B$ 的所有元素的并集。 接下来，我们逐步分析： 1. **集合差 $A - B$**： - $A - B$ 包含所有属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素。 2. **集合并 $(A - B) \cup B$**： - $(A - B) \cup B$ 包含所有属于 $A - B$ 或属于 $B$ 的元素。 3. **分析 $(A - B) \cup B$**： - $A - B$ 包含所有属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素。 - $B$ 包含所有属于 $B$ 的元素。 - 因此，$(A - B) \cup B$ 包含所有属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素，以及所有属于 $B$ 的元素。 4. **比较 $(A - B) \cup B$ 和 $A$**： - $(A - B) \cup B$ 包含所有属于 $A$ 的元素，但还可能包含一些不属于 $A$ 但属于 $B$ 的元素。 - 因此，$(A - B) \cup B$ 可能包含一些 $A$ 中没有的元素。 ### 结论 $(A - B) \cup B$ 并不总是等于 $A$，因为 $(A - B) \cup B$ 可能包含一些不属于 $A$ 但属于 $B$ 的元素。因此，命题 $(A - B) \cup B = A$ 是错误的。 ### 答案 你的答案是正确的，命题 $(A - B) \cup B = A$ 是错误的。

解析

考查要点：本题主要考查集合运算中的集合差和集合并的性质，以及集合等式成立的条件。

解题核心思路：
通过分析集合运算的定义，明确$(A - B) \cup B$的实际含义，并与集合$A$进行比较，判断两者是否相等。

破题关键点：

  1. 集合差的定义：$A - B$表示属于$A$但不属于$B$的元素。
  2. 集合并的性质：$(A - B) \cup B$会包含所有属于$A - B$或属于$B$的元素。
  3. 关键矛盾：若$B$中存在不属于$A$的元素，则$(A - B) \cup B$会包含这些元素，导致其不等于$A$。

  1. 集合差的分解

    • $A - B$包含所有属于$A$但不属于$B$的元素。
    • $B$包含所有属于$B$的元素（可能包含不属于$A$的部分）。

  2. 集合并的展开

    • $(A - B) \cup B$包含以下两类元素：
      • 属于$A$但不属于$B$的元素（来自$A - B$）。
      • 属于$B$的元素（无论是否属于$A$）。

  3. 与$A$的对比

    • $A$仅包含属于$A$的元素。
    • 若$B$中存在不属于$A$的元素，则$(A - B) \cup B$会包含这些元素，导致其范围大于$A$。

  4. 反例验证

    • 设$A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{3, 4, 5\}$，则：
      • $A - B = \{1, 2\}$
      • $(A - B) \cup B = \{1, 2\} \cup \{3, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
      • 显然$\{1, 2, 3, 4, 5\} \neq \{1, 2, 3\}$，等式不成立。