例 9-2 如图 9-7 所示,一定量的单原子理想气体经历-|||-abcd过程,其中ab为等压过程,bc为等容过程,cd为等温过-|||-程,试求:全部过程中,气体所做的功、吸收热量及内能改-|||-变量各是多少?-|||-p↑-|||-2p C-|||-等容-|||-p-|||-等压 等温-|||-a b d-|||-0 v 2V V-|||-图 9-7 例 9-2 图

步骤 1：计算等压过程 ab 中气体所做的功
等压过程 ab 中，气体所做的功为 $W_{ab} = p(V_b - V_a) = pV$，其中 $V_b = 2V$，$V_a = V$。

步骤 2：计算等容过程 bc 中气体所做的功
等容过程 bc 中，气体体积不变，因此所做的功为 $W_{bc} = 0$。

步骤 3：计算等温过程 cd 中气体所做的功
等温过程 cd 中，气体所做的功为 $W_{cd} = p_c V_c \ln \frac{V_d}{V_c} = p_c V_c \ln \frac{V}{2V} = -p_c V_c \ln 2$，其中 $p_c = 2p$，$V_c = 2V$，$V_d = V$。

步骤 4：计算全部过程中气体所做的总功
全部过程中气体所做的总功为 $W = W_{ab} + W_{bc} + W_{cd} = pV + 0 - 2pV \ln 2 = pV(1 - 2\ln 2)$。

步骤 5：计算等压过程 ab 中气体吸收的热量
等压过程 ab 中，气体吸收的热量为 $Q_{ab} = \frac{5}{2}pV$，其中单原子理想气体的比热容为 $\frac{5}{2}R$。

步骤 6：计算等容过程 bc 中气体吸收的热量
等容过程 bc 中，气体吸收的热量为 $Q_{bc} = \frac{3}{2}pV$，其中单原子理想气体的比热容为 $\frac{3}{2}R$。

步骤 7：计算等温过程 cd 中气体吸收的热量
等温过程 cd 中，气体吸收的热量为 $Q_{cd} = W_{cd} = -2pV \ln 2$。

步骤 8：计算全部过程中气体吸收的总热量
全部过程中气体吸收的总热量为 $Q = Q_{ab} + Q_{bc} + Q_{cd} = \frac{5}{2}pV + \frac{3}{2}pV - 2pV \ln 2 = 4pV - 2pV \ln 2$。

步骤 9：计算全部过程中气体的内能改变量
根据热力学第一定律，内能改变量为 $\Delta E = Q - W = (4pV - 2pV \ln 2) - pV(1 - 2\ln 2) = 3pV$。