题目
[题目]把向量组 (alpha )_(1)=(1,0,-1,1) , (alpha )_(2)=(1,-1,0,1),-|||-(alpha )_(3)=(-1,1,1,0) 正交化.
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：计算 ${\alpha }_{1}$ 的模长
向量 ${\alpha }_{1}=(1,0,-1,1)$ 的模长为 $\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$。
步骤 2：计算 ${\alpha }_{2}$ 在 ${\alpha }_{1}$ 上的投影
向量 ${\alpha }_{2}=(1,-1,0,1)$ 在 ${\alpha }_{1}$ 上的投影为 $\frac{{\alpha }_{2} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} = \frac{1}{3}(1,0,-1,1)$。
步骤 3：计算 ${\alpha }_{2}$ 的正交分量
${\alpha }_{2}$ 的正交分量为 ${\alpha }_{2} - \frac{{\alpha }_{2} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} = (1,-1,0,1) - \frac{1}{3}(1,0,-1,1) = (\frac{2}{3},-1,\frac{1}{3},\frac{2}{3})$。
步骤 4：计算 ${\alpha }_{2}$ 的正交分量的模长
向量 $(\frac{2}{3},-1,\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ 的模长为 $\sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-1)^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{15}{9}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$。
步骤 5：计算 ${\alpha }_{3}$ 在 ${\alpha }_{1}$ 和 ${\alpha }_{2}$ 上的投影
向量 ${\alpha }_{3} = (-1,1,1,0)$ 在 ${\alpha }_{1}$ 上的投影为 $\frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} = -\frac{1}{3}(1,0,-1,1)$。
向量 ${\alpha }_{3}$ 在 ${\alpha }_{2}$ 上的投影为 $\frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{2}}{\|{\alpha }_{2}\|^2} {\alpha }_{2} = -\frac{1}{5}(1,-1,0,1)$。
步骤 6：计算 ${\alpha }_{3}$ 的正交分量
${\alpha }_{3}$ 的正交分量为 ${\alpha }_{3} - \frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} - \frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{2}}{\|{\alpha }_{2}\|^2} {\alpha }_{2} = (-1,1,1,0) + \frac{1}{3}(1,0,-1,1) + \frac{1}{5}(1,-1,0,1) = (-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$。
步骤 7：计算 ${\alpha }_{3}$ 的正交分量的模长
向量 $(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ 的模长为 $\sqrt{(-\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}}$。
向量 ${\alpha }_{1}=(1,0,-1,1)$ 的模长为 $\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$。
步骤 2：计算 ${\alpha }_{2}$ 在 ${\alpha }_{1}$ 上的投影
向量 ${\alpha }_{2}=(1,-1,0,1)$ 在 ${\alpha }_{1}$ 上的投影为 $\frac{{\alpha }_{2} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} = \frac{1}{3}(1,0,-1,1)$。
步骤 3：计算 ${\alpha }_{2}$ 的正交分量
${\alpha }_{2}$ 的正交分量为 ${\alpha }_{2} - \frac{{\alpha }_{2} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} = (1,-1,0,1) - \frac{1}{3}(1,0,-1,1) = (\frac{2}{3},-1,\frac{1}{3},\frac{2}{3})$。
步骤 4：计算 ${\alpha }_{2}$ 的正交分量的模长
向量 $(\frac{2}{3},-1,\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ 的模长为 $\sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-1)^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{15}{9}} = \sqrt{\frac{5}{3}}$。
步骤 5：计算 ${\alpha }_{3}$ 在 ${\alpha }_{1}$ 和 ${\alpha }_{2}$ 上的投影
向量 ${\alpha }_{3} = (-1,1,1,0)$ 在 ${\alpha }_{1}$ 上的投影为 $\frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} = -\frac{1}{3}(1,0,-1,1)$。
向量 ${\alpha }_{3}$ 在 ${\alpha }_{2}$ 上的投影为 $\frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{2}}{\|{\alpha }_{2}\|^2} {\alpha }_{2} = -\frac{1}{5}(1,-1,0,1)$。
步骤 6：计算 ${\alpha }_{3}$ 的正交分量
${\alpha }_{3}$ 的正交分量为 ${\alpha }_{3} - \frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{1}}{\|{\alpha }_{1}\|^2} {\alpha }_{1} - \frac{{\alpha }_{3} \cdot {\alpha }_{2}}{\|{\alpha }_{2}\|^2} {\alpha }_{2} = (-1,1,1,0) + \frac{1}{3}(1,0,-1,1) + \frac{1}{5}(1,-1,0,1) = (-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$。
步骤 7：计算 ${\alpha }_{3}$ 的正交分量的模长
向量 $(-\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})$ 的模长为 $\sqrt{(-\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}}$。