题目

设三阶矩阵A的特征值为-1、1、2，B=2A^2-A+E，则B的特征值为____

设三阶矩阵A的特征值为-1、1、2，$B=2A^{2}-A+E$，则B的特征值为____

题目解答

答案

为了求解矩阵 $ B = 2A^2 - A + E $ 的特征值，我们首先利用矩阵的特征值的性质。设矩阵 $ A $ 的特征值为 $ \lambda $，则 $ A $ 的多项式 $ f(A) $ 的特征值为 $ f(\lambda) $。这里， $ f(A) = 2A^2 - A + E $，所以 $ f(\lambda) = 2\lambda^2 - \lambda + 1 $。 已知矩阵 $ A $ 的特征值为 $ -1, 1, 2 $，我们分别将这些特征值代入 $ f(\lambda) $ 中计算 $ B $ 的特征值。 1. 当 $ \lambda = -1 $ 时， \[ f(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4. \] 2. 当 $ \lambda = 1 $ 时， \[ f(1) = 2(1)^2 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2. \] 3. 当 $ \lambda = 2 $ 时， \[ f(2) = 2(2)^2 - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7. \] 因此，矩阵 $ B $ 的特征值为 $ 4, 2, 7 $。 最终答案为 $\boxed{4, 2, 7}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵特征值的性质，特别是矩阵多项式的特征值计算。

解题核心思路：若矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则矩阵多项式 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$。因此，只需将 $A$ 的每个特征值代入多项式 $2\lambda^2 - \lambda + 1$ 中计算即可。

破题关键点：

  1. 矩阵多项式的特征值性质：直接利用特征值的代数运算规律，无需计算矩阵的具体形式。
  2. 代入计算：将每个特征值代入多项式表达式，逐项计算。

设矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则矩阵 $B = 2A^2 - A + E$ 的特征值为 $2\lambda^2 - \lambda + 1$。分别代入 $A$ 的特征值：

  1. 当 $\lambda = -1$ 时：
    $2(-1)^2 - (-1) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 + 1 = 4$

  2. 当 $\lambda = 1$ 时：
    $2(1)^2 - 1 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2$

  3. 当 $\lambda = 2$ 时：
    $2(2)^2 - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7$

因此，矩阵 $B$ 的特征值为 $4, 2, 7$。